课堂新坐标2014高考数学(理)2轮专题复习课时作业7.docVIP

课时作业(七)　三角恒等变换与解三角形 一、选择题 1．在ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】　cos2＝，＝， 1＋＝，化简得a2＋b2＝c2，故ABC是直角三角形．故选B. 【答案】　B 2．(2013·湖南高考)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　在ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为ABC的外接圆半径)． 2asin B＝b，2sin Asin B＝sin B. sin A＝.又ABC为锐角三角形，A＝. 【答案】　D 3．(2013·青岛质检)＝(　　) A．－　　　 B．－　　　 C.　　　 D. 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 【答案】　C 4．(2013·山东高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 【解析】　由正弦定理得：＝，B＝2A，a＝1，b＝，＝. A为三角形的内角，sin A≠0. ∴cos A＝. 又0＜A＜π，A＝，B＝2A＝. C＝π－A－B＝，ABC为直角三角形． 由勾股定理得c＝＝2. 【答案】　B 5．(2013·天津高考)在ABC中，ABC＝，AB＝，BC＝3，则sinBAC＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由余弦定理可得 AC＝ ＝＝， 于是由正弦定理可得＝， 于是sinBAC＝＝. 【答案】　C 二、填空题 6．(2013·课标全国卷改编)已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________. 【解析】　由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0， cos2A＝，则cos A＝. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得72＝b2＋62－12b×， 解之得b＝5(舍去负值)． 【答案】　5 7．已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 【解析】　设ABC的三边a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝2a. 则cos C＝＝＝－. 【答案】　－ 8．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则ABC的面积为________． 【解析】　B＝，C＝， A＝π－B－C＝π－－＝. 由正弦定理＝，得＝， 即＝，c＝2. S△ABC＝bcsin A＝×2×2sin ＝＋1. 【答案】　＋1 三、解答题 9．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列． (1)求cos B的值； (2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值． 【解】　(1)由A、B、C成等差数列，则2B＝A＋C. 又A＋B＋C＝π， B＝，故cos B＝. (2)由已知，b2＝ac，又cos B＝. 根据余弦定理，得 cos B＝＝＝，a＝c. 因此A＝C＝B＝，故sin Asin C＝. 10．(2013·天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝. (1)求b的值； (2)求sin(2B－)的值． 【解】　(1)在ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B. 又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1. 由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝. (2)由cos B＝，得sin B＝，进而得 cos 2B＝2cos2B－1＝－， sin 2B＝2sin BcosB＝， 所以sin(2B－)＝sin 2Bcos －cos 2Bsin ＝. 11．(2013·四川高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影． 【解】　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 [cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－， 即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－. (2)由cos A＝－，0Aπ，得sin A＝. 由正弦定理，有＝，所以sin B＝＝. 由题意知ab，则AB，故B＝. 根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5×c×， 解