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2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2008.3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则 （　　） A． B． C． D． 2. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是 （　　） A．、 B．、 C．、 D．、 3. 已知函数，若，则实数 （　　） A． B． C．或 D．或 4. 直线与圆的位置关系是 （　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 5. 在区间上任取两个数、，则方程有实根的概率为 （　　） A． B． C． D． 6. 已知，则“”是“”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 抽气机每次抽出容器内空气的％，要使容器内剩下的空气少于原来的％，则至少要抽（参考数据：，） （　　） A．次 B．次 C．次 D．次 8. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是 （　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9. 若复数是实数，则实数　　　　． 10. 已知，则　　　　　　． 11. 根据定积分的几何意义，计算：　　　　　　． 12. 按如图所示的程序框图运算： 若输入，则输出　　　　　； 若输出，则输入的取值范围是　　　　　　． （注：“”也可写成“”或“”，均 表示赋值语句） （二）选做题：第题为选做题，考生只能选做其中的两 题，三题全答的，只计算前两题的得分． 13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点 作圆的切线，则切线的极坐标方程是　　　　　　． 14. （不等式选讲选做题）若、、，且，则的最小值等于　　　　　　． 15. （几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为，则的面积为　　　　． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 已知函数的图像经过点和． （Ⅰ）求实数和的值； （Ⅱ）当为何值时，取得最大值． 17. （本小题满分12分） 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数，其 中的各位数字中，，（）出现的概率为，出现的概率为，记，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分面列和数学期望． 18. （本小题满分14分） 如图1所示，在边长为12的正方形中，点、在线段上，且， ，作∥，分别交、于点、，作∥，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱． （Ⅰ）在三棱柱中，求证：平面； （Ⅱ）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比； （Ⅲ）在三棱柱中，求直线与直线所成角的余弦值． 19. （本小题满分14分） 已知数列中，，（且）． （Ⅰ）若数列为等差数列，求实数的值； （Ⅱ）求数列的前项和． 20. （本小题满分14分） 已知函数（其中为自然对数的底）． （Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）若，证明：． 21. （本小题满分14分） 已知抛物线（）和点，若抛物线上存在不同的两点、 满足． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B B A D C 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 10． 11． 12．， （二）选做题：第题为选做题，考生只能选做其中的两题，三题全答的，只计算前两题的得分． 13． 14． 15． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解：（Ⅰ）依题意，有 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ． 因此，当，即（）时，取得最大值． 17. 解：依题意，知的可能取值为，其概率分别为[] 表示（）中全为零，故； 表示（）中恰有一个