计量经济学第4章统计推断：估计与假设检验.doc

PAGE  PAGE 11 统计推断：估计与假设检验 4.1 统计推断的含义 总体和样本 总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体，样本是总体的一个子集(例如，杭州的人口；下沙开发区的人口)。 宽泛地说，统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。 国内股票交易市场共有1500多支股票。假定某一天从中随机选取50支，并计算这50支股票价格与收入比的平均值—即P/E比值。（例如，一支股票的价格为50元，估计年收益为2.5美元，则P/E为20；也就是说，股票以20倍的年收益出售。） 根据50支股票的平均P/E值，能否说这个P/E值就是总体的1000多股票的平均P/E值呢？ 如果令X表示一支股票的P/E值，表示50支股票的平均P/E值，能否得知总体的均值E(X)呢？此处统计推断的实质就是从样本值均值()归纳出总体值E(X)的过程。 4.2 参数估计 通常假定某一随机变量X服从某种概率???度，但并不知道其分布的参数值。例如，X服从正态分布，想知道其两个参数，均值E(X)=uX，及方差。 为了估计未知参数，一般的步骤是： 假定有来自某一总体，样本容量为n的随机样本，根据样本估计总体的未知参数。因此，可将样本均值作为总体均值(或期望)的估计量，样本方差作为总体方差的估计量。 这个过程称为估计问题，估计问题有两类： 点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)。 假定随机变量X(P/E值)服从某一未知均值和方差的正态分布。但是，有来自该正态总体的一个随机样本(50个股票的P/E值)，如何根据这些样本数据计算总体的均值uX (=E(X))和方差？ 表4 - 1 点估计 据表4 - 1的数据 50个P/E的样本均值为11.5，显然我们可以选择 作为uX的估计值。我们称这个单一数值为uX的点估计值。 （注意：点估计量是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不同。） 某一特殊的估计值(比如11.5)的可信度有多大呢？虽然可能是总体均值的“最好的”估计值，但是某个区间，比如8～10，更可能包括了总体均值。这正是区间估计的基本思想。 区间估计 区间估计的主要思想源于估计量的概率分布的概念。如果随机变量X~N(uX，)，则（回忆第三章中心极限定理）： ~ N(uX，) 或， 即样本均值的抽样分布也服从正态分布。 如前所述，通常未知，可用其估计量代替，则： 服从自由度为(n－1)的t分布。 在P/E一例中，共有50个样本观察值，因此自由度为49。查附录中的t分布表可得： P(－2.0096≤t≤2.0096)=0.95 也即区间(－2.0096，2.0096)包括t值的概率为95%。－2.0096和2.0096称为临界t值，表明了在临界值区间内，位于t分布曲线下区域的比例。 把代到P(－2.0096≤t≤2.0096)=0.95中，得到： P(－2.0096≤≤2.0096)=0.95 整理得： 上式为真实的uX一个区间估计量。 10.63≤uX≤12.36(近似值) 即为uX的95%的置信区间。 一般地，称 为未知的总体均值uX的一个95%的置信区间。0.95称为置信系数。上式表示随机区间()包括真实的uX概率为0.95。（）称为区间的下限(lower limit)，()称为区间的上限(upper limit)。 特别强调： 给出的区间是随机的区间，因为它依赖于和的取值，而和的值随样本的不同而变化。虽然总体均值uX是未知的，但是它取某一固定值，因而它是非随机的。简言之，区间是随机的，而参数uX不是随机的。 也可以理解为，如果建立类似上式这样的置信区间100次，将有95次的区间包括真实的uX。 4.3 点估计量的性质 在P/E一例中，用样本均值作为uX的点计量，同时还得到了uX的区间估计量。但除了样本均值以外，样本中位数同样可用作uX的点估计量，为什么要选择样本均值为uX的估计量呢？ 在实践中，样本均值是度量总体均值最广泛使用的统计量,因为它满足了下面的一些统计性质： (1) 线性(linearity) (2) 无偏性(unbiasedness) (3) 有效性(efficiency) (4) 最优线性无偏估计量(BLUE) (5) 一致性(consistency) 4.4.1 线性 若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量是线性估计量。 4.3.2 无偏性 如果重复使用某种方法，得到的估计量的均值与真实参数值一致，那么，这个估计量就是无偏估计量。 如果称为无偏估计量，则有： E()=uX 如果不是这样，则称该估计量是有偏的估计量，比下图中的估计量X*。 4.3.3 有效性 虽然无偏性是令人想往的性质，但却不是充分的。如果有两个