第3章四章课后习题答案.docVIP

第三章答案 1.证明：二阶样本中心矩不是总体方差的无偏估计。 证明：已知；不失一般性我们假设总体为，为其样本，它们相互独立，且与总体服从相同的分布，所以有 计算： 所以 进而有 即：二阶样本中心矩不是总体方差的无偏估计 证毕。 2.设为的两个独立的无偏估计，且，求常数，使得为此种线性组合中有最小方差的无偏估计。 解：已知为的两个独立的无偏估计，即：。 (ⅰ) 是的无偏估计，即： 而 ，所以有① (ⅱ) 的方差最小，因为 且，所以 取最小值取最小值 取最小值（结合①式） ， 即：当时为此种线性组合中有最小方差的无偏估计 3.设总体的概率分布密度为 其中未知，为其样本。试证为的无偏估计。 证明：已知总体的概率分布密度为 则分布函数 因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以 令，则的分布函数为： 所以的概率分布密度为： 为的无偏估计。 4.设总体服从的均匀分布，为其样本。令，求使得为的无偏估计。 解：已知总体，则的分布函数为： 的概率分布密度为： 因为样本相互独立且与总体服从相同的分布，所以 令，则的分布函数为： 所以的概率分布密度为： 。 欲使为的无偏估计，则① 而② 又①、②得：。 5.设总体服从几何分布，其分布律为，样本为，求的矩法估计及极大似然估计。 解： （1）已知总体服从几何分布，其分布律为，所以 为了求级数的和，可以利用已知的幂级数展开式： 按幂级数逐项微分性质可得： 由此可得： 所以由，即：得的矩法估计：。 （2）似然函数为 两边取自然对数，得： 两边对求导，并令导数等于0得： 解上述方程，得的极大似然估计：。 6．设总体的概率分布为： 0123其中为未知参数，利用总体的如下样本值 求的矩法估计值和极大似然估计值。 解：（1）由已知易得： 所以由，即：得的矩法估计：。 （2）似然函数为 两边取自然对数，得： 两边对求导，并令导数等于0得： 解上述方程，得： 所以的极大似然估计。 7. 设总体的概率分布密度为： 其中为未知常数。求的矩法估计和极大似然估计。 解：已知总体的概率分布密度为： 计算 所以由，即： 得的矩法估计： （2）似然函数为 两边取自然对数，得： 两边对求导，并令导数等于0得： 解上述方程，得：的极大似然估计。 8.设总体X服从的均匀分布，样本为，求参数的极大似然估计。 解：X的概率分布密度为： 所以，当时，似然函数为，否则。故要使得似然函数达到极大，必须在满足的条件下，使达到极大，即达到极小。所以的极大似然估计为。 9.某工厂生产的一批手表，其走时误差（单位：秒/日）服从正态分布，现从中随机抽取9只进行检测，结果如下： 设置信概率为，求这批手表走时误差的均值和方差的置信区间。 解：设表示这批手表的走时误差， 由样本值得：样本均值为： 样本方差为： （1）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为 对，查表得。易计算： 所以均值的置信概率为的置信区间为 （2）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体方差的置信区间为 对，查表得。易计算： 所以方差的置信概率为的置信区间为 10.已知某种材料的抗压强度，现随机抽取10个试件进行抗压试验，测得的数据如下（单位：）： 求平均抗压强度的矩估计值和方差的极大似然估计； 求平均抗压强度的95％的置信区间； 若已知，求的95％的置信区间； 求的95％的置信区间。 解：（1） ①已知总体，而样本均值： 由知的矩估计值。 ②似然函数为 取对数，得 对及求偏导数，并让它们等于零，得 解此方程组，即得及的极大似然估计值分别是： 所以的极大似然估计值为： （2）由样本值得：样本方差 由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为 对，查表得。易计算： 所以均值的置信概率为95％的置信区间为 （3）已知 由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体均值的置信区间为 对，查表得。易计算： 所以已知时，均值的置信概率为95％的置信区间为 （4）由于样本函数，所以对应于置信概率为，总体方差的置信区间为 对，查表得。易计算： 所以方差的置信概率为95％的置信区间为。 11.随机地从A批电线中抽取4根，从B批电线中抽取5根，测得其电阻值（）为 A批电线 B批电线 设测试数据分别服从分布及，求的95％的置信区间。 解：由第六章定理3.2的（2）知，样本函数 所以对应于置信概率为，均值差的置信区间为 由样本值易计算： 对，查表得 所以均值差的置信概率为95％的置信区间为。 12.化验员甲乙分别独立地对某种化合物的含氮量用相同的方法各做10