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13-1s教程
§1 一致收敛性 ;一、函数列及其一致收敛性 ;如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点;或;例1 ;式所表示的函数. ;例2 ;定义1 ;号大于;从几何意义上 ;曲线;任给; 由定义1知, ;由上确界的定义, 对所有;注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, ;例3 定义在[0,1]上的函数列;的图;例4 讨论函数列;根据余项准则知该函数列在;图13 – 4 ;因此对任何不含原点的区间;二、函数项级数及其一致收敛性;收敛, 即部分和;点 x 与其所对应的数项级数(11)的和;例5 ;定义2 ;定理 13.3 ( 一致收敛的柯西准则 ) 函数项级数 ;推论 (函数项级数一致收敛的必要条件) 函数项级 ;上讨论, 则由 ;例6 讨论函数项级数;所以 ;因此;三、函数项级数的一致收敛判别法;证 ;例7 函数项级数;数;定理13.6(阿贝耳判别法)设 ;又由(ii),(iii)及阿贝耳引理(第十二章§3的引理的推 ;定理13.7 (狄利克雷判别法) 设;因此当 n, p 为任何正整??时, ;于是由一致收敛性的柯西准则, 级数(14)在I上一致 ;例8 函数项级数;证 由第十二章§3(21)式, 在[α, 2π-α]上有;致有界, 于是令;例10 设;由数学归纳法容易得到;复习思考题
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