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一次方程组复习 王贺喜 一、概念辨析 1．二元一次方程有两个要素：一是含有两个未知数，二是未知数的次数必须是一次，判断时缺一不可。容易和方程的概念混淆。现阶段我们学习的方程都是整式方程，分母中出现未知数的方程属于分式方程。 2．二元一次方程与一元一次方程的相同点是未知数的次数都是一次；不同点是一元一次方程只有一个未知数，它的解一般只有一个，而二元一次方程有两个未知数，它的解一般有无数个。对于关于x和y的二元一次方程，它的解是一对x、y的值，用花括号表示。可以说满足方程的一对未知数的值是二元一次方程的解，反之表述不成立。二元一次方程解的全体叫做它的解集 3．二元一次方程的特殊解是有限个的，但是要注意取值范围。如非负整数包括未知数等于零的情况。 4．二元一次方程组有两个特征：一是整个方程组中有且只有两个未知数，但不要求每个方程都是二元一次方程；二是每个方程都是一次方程。 5．二元一次方程组的解既是第一个方程的解，也是第二个方程的解，判断或者检验时，必须代入两个方程。二元一次方程组可以有唯一解、无数个解和无解三种情况。 6．三元一次方程组中含有三个未知数，而不要求每个方程中都含有三元，并且方程组中方程的个数也不一定要三个。 二、基本解题方法 1．求二元一次方程的特殊解可以用列举法，也可以先把方程变形，再把符合条件的未知数的值分别代入。注意，用含x的式子表示y，是将含y的项放在等式的左边，其余各项均放在等式的右边。 2．解二元一次方程组的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法两种，简称“代入法”和“加减法”。“代入法”的步骤可概况为：“变形表示，代入消元，回代得解”，当未知数的系数绝对值为1或常数项为0时，用“代入法”解较为简便。“加减法”的步骤可概况为“变换系数，加减消元，回代得解”，当两个方程中，同一未知数的绝对值相等或者成整数倍时，用“加减法”较简便。当未知数的系数是分数或者小数时，先统一化成整数系数再解。 3．解三元一次方程组的基本思路仍是消元，步骤是三元一次方程组消元转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次次方程。方法还是“代入法”和“加减法”。但要注意，消元时要认准一个未知数一消到底，不要这两个方程消去一个未知数，另两个方程又消去另一个未知数。 4．列方程组解应用题适用于当实际为题中要求解的未知量多于1个，而列一元一次方程较困难的情况。一般设几个未知数就要列出相同个数互相独立的方程，组成方程组，其步骤、注意事项均与列一元一次方程解应用题类似。 三、例题精选 例1. 若 由二元一次方程概念可知，两个未知数前的系数≠0，次数都是一次，可得a=3. 例题2. 已知方程组与的解相同，求a和b的值. 由方程组的解的概念可知，同时满足四个方程的一对x和y的值必然满足其中的两个方程，所以方程组的解就是这两个方程组的解，代入到另两个方程中，得到了关于a和b的方程组. 例题3. 某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台.问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？ 分析：工作量问题中的基本公式是：单位时间工作量×工作时间=工作总量。根据问题可以设规定时间为x天，这批仪器共y台。第一个等量关系是：每天30台×天数x天=y×，第二个等量关系中的时间是（x-1）天，工作总量是（y+25）台，即每天40台×天数（x-1）天=（y+25）台，建立方程组，可解。 用一次方程组解决实际问题时如何找到等量关系 一、行程问题 例题1. 为了支持世博会，小杰骑车从A地到B地作义务宣传。如果小杰每小时行10千米，将比原计划提前30分钟到达B地；如果每小时行9千米，将比原计划晚到半小时。求A、B两地相距多少千米？原计划几小时到达？ 分析：设A、B两地相距x千米，原计划y小时到达。要理解“提前”和“晚到”都是以原定时间为标准的。比原计划提前30分钟，就是比原定时间少用30分钟，即用时（）小时；比原计划晚到半小时，就是比原定时间多用小时。再根据“路程=时间×速度”得到两个方程，组成一个二元一次方程组。本题也可以列一元一次方程求解。求得原计划时间y的解后，再求A、B两地的距离。 例题2. 甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步。若两人同时同地背道而行，则经过2分钟相遇；若两人同时同地同向而行，则经过20分钟相遇。已知甲的速度较快，求两人散步时的速度。 本题是环形路上的相遇、追及问题，其中有两个未知数：甲乙两人各自的速度。有两个等量关系：（1）背向而行，首次相遇时甲乙的行程之和=400米；（2）同向而行：首次相遇时甲乙的行程之差=400米。 二、配套问题 例题3. 学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工一天能装配双人课桌4张或单人