热传导方程的导出和其定解问题的导出.docVIP

 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT 热传导方程的导出及其定解问题的导出 1. 热传导方程的导出 考察空间某物体G的热传导问题。以函数表示物体G在位置及时刻t的温度。 依据传热学中的Fourier实验定律，物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比，即  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) 其中称为物体在点处的热传导系数，它应取正值。 GOTOBUTTON ZEqnNum702802 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum702802 \! \* MERGEFORMAT (1-1)式中负号的出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此应和异号。 在物体G内任取一闭曲面，它所包围的区域记为，由 GOTOBUTTON ZEqnNum702802 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum702802 \! \* MERGEFORMAT (1-1)式，从时刻到流进此闭曲面的全部热量为  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) 这里表示沿上单位外法线方向n的方向导数。 流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔中物体温度从变化到，它所应该吸收的热量是 其中为比热，为密度。因此就成立  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3) 假设函数关于变量具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把 GOTOBUTTON ZEqnNum611241 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum611241 \! \* MERGEFORMAT (1-3)化为 交换积分次序，就得到  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4) 由于都是任意的，我们得到  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5)  GOTOBUTTON ZEqnNum610827 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum610827 \! \* MERGEFORMAT (1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。如果物体是均匀的，此时均为常数，记，即得  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1- SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6)