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河北科技师范学院教案 编号 8 学年度 第 学期 系 （部） 数 理 系 教研室 数 学 任课教师 课程名称 概率统计 授课章节：第二章 一维随机变量及其分布 第四节 一维随机变量函数的分布 授课班级 授课日期 课 题 一维随机变量函数的分布时 数2教学目的 及 要 求使学生熟练掌握一维随机变量函数的分布的概念和计算方法教学重点一维随机变量函数的分布的概念和计算方法难 点对连续型随机变量函数分布密度的求解教法、教具 讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配回忆一维随机变量分布函数和分布密度的关系 （二）新课 第四节 一维随机变量函数的分布 一般地，设是以为密度的连续型随机变量．并设，则也是连续型随机变量．本节讨论如何从的分布出发，应用一定的方法和技巧，求的分布． 一　离散型随机变量函数的分布列 例1 设某球员在固定点投篮的命中率是0.8，他投篮5次，用表示进球数，则 ～，其概率分布列为 12345如果采用的计分办法是每进一球得2分，则该球员的得分为，的取值为0，2，4，6，8，10．的值也是这个随机试验（即该球员投篮5次）的结果， 所以，也是随机变量，那么如何求的概率分布呢？我们注意到和的取值是一对一的关系，所以有如下等价事件： {=0}＝{}，{}＝{}，{}＝{}，…， 于是， ，，，…， 从而，得的概率分布列为 246810若函数不是一对一的，则的概率分布列的求法就不象上面那么简单． 二　连续型随机变量的函数 设为连续型随机变量，是连续函数．则也是连续型随机变量，根据的概率密度求出的概率密度．一般步骤如下： （1）先求的分布函数 ：从不等式解出（其中是轴上的一个区间或若干区间的并集），于是得到等价事件“”＝“”，所以，＝，其中右端的表示定积分的积分范围； （2）对求导，得到 ＝． 例3　设的概率密度为 令，求的概率密度． 解法１ 注意的取值范围是区间，故的实际取值范围是．任取，考虑的分布函数 ＝． 由不等式，解出 ．由于，故 =． 于是 ==，， 所以 解法２　设的分布函数是，则 ． 利用复合函数导数的法则，当时，有 ==． 上述推导实质在于将的分布函数在的值转化为的分布函数 在处的值，这样就建立了分布函数之间的关系，然后，通过求导得到的密度函数，这种方法称为“分布函数法”． 定理 设，，则． 证明 仅证的情况.的概率密度为 ，. 用和分别表示和的分布函数，则有 ＝＝． 利用复合函数导数的法则，有 ==． 根据正态分布的定义，便知 ． 推论 如果，则 ． 证明 在定理中，取， 即可得到． 由推论可知，任何正态分布都可转化为标准正态分布．通常记，并称为的标准化随机变量． 例4　设，，求的概率密度． 解 的概率密度为，，用和分别表示和的分布函数．因为，的实际取值范围是 ，所以当时， == 所以 ==， 即　 作 业 参考文献作业 参考文献 同上课 后 小 结教研室主任（签字）：