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通信原理教程樊昌信习题答案第2章
《通信原理》习题第二章
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第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成:
式中,是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:P( QUOTE θ =0)=0.5,P(= QUOTE π /2)=0.5
试求E[X(t)]和。
解:E[X(t)]=P( QUOTE θ =0)2 QUOTE cos2πt +P( QUOTE θ QUOTE θ = π/2) QUOTE 2 cos2πt+π2=cos2πt-sin2πt
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成:
判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解:为功率信号。
QUOTE RXτ=limT∞1/T-T/2T/2XtXt+τdt QUOTE limT∞1/T-T/2T/22cos2πt+θ*2cos2π(t+τ)+θdt
习题2.3 设有一信号可表示为:
试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解:它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为:
则能量谱密度 G(f)= QUOTE X(f)2 = QUOTE 4/(1+jω)2=161+4π2f2
习题2.4 X(t)= QUOTE x1cos2πt-x2sin2πt ,它是一个随机过程,其中和是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为 QUOTE σ2 。试求:
(1)E[X(t)],E[ QUOTE X2(t) ];(2)X(t) 的概率分布密度;(3)
解:(1)
因为相互独立,所以。
又因为,,所以。
故
(2)因为服从高斯分布,的线性组合,所以也服从高斯分布,其概率分布函数。
(3)
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:
(1); (2); (3)
解:根据功率谱密度P(f)的性质:①P(f),非负性;②P(-f)=P(f) ,偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件,(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=A QUOTE cosωt 的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。
解:R(t,t+ QUOTE τ )=E[X(t)X(t+)] =
功率P=R(0)=
习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。
解:RX(t,t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]=E[ QUOTE X1tX2(t) X1t+τX2(t+τ) ]
== QUOTE RX1(τ)RX2(τ)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t) QUOTE cosωt ,其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自相关函数为
(1)试画出自相关函数 QUOTE RXτ 的曲线;(2)试求出X(t)的功率谱密度 QUOTE PX(f) 和功率P。
解:(1)
?1
0
1
其波形如图2-1所示。
图2-1信号波形图
(2)因为广义平稳,所以其功率谱密度。由图2-8可见,的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此
习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) = QUOTE sinπfπf 。试求此信号的自相关函数RXτ。
解:x(t)的能量谱密度为G(f)= QUOTE X(f)2 = QUOTE sinπfπf2
其自相关函数
习题2.10 已知噪声的自相关函数,k为常数。
(1)试求其功率谱密度函数和功率P;(2)画出和的曲线。
解:(1) QUOTE Pnf=-∞∞Rnτe-jωτdτ=-∞∞k2e-kτe-jωτdτ=k2k2+(2πf)2
0
(2) QUOTE Rnτ和Pn(f) 和的曲线如图2-2所示。
1
0
图2-2
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:
试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。
解:详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
试求其平均功率。
解: QUOTE 010*103104f2df=2*10-4*f331040=23*108
习题2.13 设输入信号 ,将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器(见图2-3)上,RC=τ。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解:高通滤波器的系统函数为
H(f)= QUOTE RR+(1j2πfC)
C
R
图2-3RC 高通滤波器
输入信号的傅里
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