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高数下9.2二重积分的计算法
X—型区域: 如果积分区域D为: ?1(x)? y ??2(x), a? x ?b, 其中函数?1(x), ?2(x)在区间[a, b]上连续.;z=f(x, y); X—型区域的特点: 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.;若是X—型区域, 先积 y 后积 x. 若是Y—型区域, 先积 x 后积 y. ;解一: 区域D: ;2; 由以上两例可见, 为了使二重积分的计算较为方便, 究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定, 在积分区域的表达式中选取比较简单的一组,从而确定相应的公式, 同时还要兼顾被积函数的特点,看被积函数对哪一个变量较容易积分, 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点.;解: 若视为D是X—型区域, 则 ;解: 积分区域为: ;例6: 改变积分的次序. ;例7: 求 ;例8: 求 ;例9: 计算积分 ;其中D为曲线 y2=x 和 y=x–2y所围区域.; 化二重积分为累次积分时, 选择积分次序的重要性, 有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大, 有些题目在计算上差别很大, 甚至有些题目对一种次序能积出来, 而对另一种次序却积不出来;; 例11: 求由下列曲面所围成的立体体积: z=x+y, z=xy, x+y=1, x=0, y=0.;二、利用极坐标系计算二重积分 ;?;二重积分化为二次积分的公式(3);D;解: 设 ;再由I1II2得, ;解: 将区域D的边界曲线化为极坐标方程: ; 解: 由被积函数和积分区域D的对称性, 可只考虑第一象限部分D1, 即D=4D1. ;D1;解: 积分区域D如图. 则 ;例19: 计算 ;从 r = ? 穿入, 从r = 2穿出. ;三、小 结 ;思考题一: ;思考题二解答:;
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