2013年初二下学期期末浦东第25题详解.pdf

例 2013 年浦东新区初二下学期期末第25 题 已知：如图1，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ，CH⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G，使得CG＝CF．联结EF 、FG 、GH、 HE ． （1）求证：四边形EFGH 是矩形； （2 ）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形？并证明． 图1 满分解答 （1）【思路1】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；邻边互相垂直的平行四边形 是矩形． 图2 图3 如图 2，△AEH 与△ABD 是两个有公共顶角的等腰三角形，因此底角相等，根据同位 角相等，两直线平行，得到EH//BD ． 如图3，同理，FG//BD ．所以EH//FG ． 同理，EF//HG ． 所以四边形EFGH 是平行四边形． 又因为菱形的对角线AC 与BD 垂直，所以平行四边形EFGH 的邻边垂直． 所以四边形EFGH 是矩形． 【思路2 】有三个角是直角的四边形是矩形． 图4 图5 如图4，△AEH 和△BEF 是两个等腰三角形，两个顶角是同旁内角，因此两个等腰三角 形的4 个底角的和是180°，那么两个底角的和就是90°，因此得到∠FEH ＝90 °． 如图5，同理，四边形EFGH 的其它3 个内角都是90 °． 于是得到矩形EFGH ． （2 ）【思路】邻边相等的矩形是正方形． 图6 图7 图8 图9 如图6，由于△ABF ≌△ADG ，所以△AFG 是等腰三角形． 如图7，△BEF 是等腰三角形． 如图8，当两个等腰三角形全等时，它们的底边EF 与FG 就相等了． 如图9，两个等腰三角形全等，对应腰AF ＝BF ，因此△ABF 是等腰直角三角形． 所以当∠B ＝90 °时，矩形EFGH 是正方形．