2008年北京大学自主招生数学试题及解答.pdf

. 解 延 戈开究 · +·: 教，? (20 8年第2期·高中版) 2008 年北京大学自主招生数学试题赏析 430 16 湖北省武汉市第六中学 常晓兵 20 8 年北京大学自主招生数学试题学生反映比较难. 大部分试题有竞赛题的味道，特别是理科的最后一题，需要用到高等数学知识，无论对学生数学学习的深度和广度都有较高要求、 “1二合+“，“2=合一“(a〕0，。二0)，贝组a，=5一a，b，=，一刀(a李刀). 1. 求证:如图 1，边长为 1 的 即证誉+。‘孚+。，即证互二色二冬乙 ‘ “ 一卢 乙正五边形对角线长略解 三角形 DA E，则 AB E叭三角形 。毕 ala，+a，a3+aZa，=b，bZ+b;b，+bZb3，将a‘，乌(1=1，2，3;’=1，2，3) 代人整理得备‘a+”，一‘二二 一 a + b x l 一x了 二飞- ， 万 一12 图 1对角线AC=1+二=万 +1 2 即证 3 ， 。、~二- 气a 十 廿 )4 l a + b 〕了， 点评 该题难度不大力巧妙构造相似形. 2. 如图2，已知六边形 Ac;BA ;CB I 中，AC:二AB I，Bq =BA I，CA I = CB I，乙A + 乙B + 乙C二乙A，+ 乙Bl +乙C. 求 ，但需经 比较强 的观察能 即证 于 (。+口) 一25妻a +b. 犷H 。+刀=a，+aZ+bl +b:，25=a; +aZ+a3+bl +bZ+b3， e l 一a Z a =一万一 b 二bl 一bZ2即证合(a;+aZ+“，+‘2，一‘a!+aZ+a3+证: △AB C 面积是六边形 ACIBA lcB ; 的一半.如上图将 △Aq B 绕鉴△ACIB ，可由 b; +b: +b，) 〕 b、一bZ图 2 A 点 旋 转 使 △A凡H a l 一a Z— + Z 2 乙A+ 乙B+ 乙C= 乙A; + 乙B; + 乙C; 得乙A; +乙BI + 乙CI =36() “，得乙A，= 乙HB ，C，可证△BA :C绘△刀刀，C 即可得出结果.点评 由于平面几何在高考数学教学中很少单独出现，很多学生试图用三角代换等方法进行，结果很少有做出的. 该题的这种旋转变换和构造在数学竞赛试题中出现较多但并不简单，而高考几乎没有.所以高水平的数学学习很多时候要能跳出案臼，有较强的创新意识. 3. 已知a，+aZ+a，二b，+b: +b3， a，aZ+aZa3+a3a，二b，bZ+bZb，+b3b，， min(a，，aZ，a3) 蛋而n(b，，bZ，b。) ，求证:ma x(a，，aZ，a，) 落max (b，，bZ，b，).证明 不妨设a。〕aZ) a，，b，〕bZ〕b3.则条件为a，‘b，，即证a。‘b，·令a; +a: +a，=b. +bZ+b，=: ， 即证a: +bZ) a。+b，，这显然成立.点评 该题很明显是一道数学竞赛类试题，对不等式的变形能力和技巧有一定要求。当然，该题还有其他很多解法. 4 . 排球单循环赛南方球队比北方球队多9 支，南方球队总得分是北方球队的9 倍. 求证: 冠军是一支南方球队(胜得 1 分 败得0 分) . 】解法1 设北方有 n 支球队，得分为A. 南方有n +9 支球队，得分为B则有 C:十，+n(n+9) ) 刀，优蛋通，·一 丑=9滩，《，+n(n+9)〕刀=gA) 9《，即3n2一22n一36鉴0. ( 1)又，Q. 分为氏+，，有101嗽，。，结合(1)得n二6或5. 1O n=6 时，北方有6 支队，北方队之间产生分数此分.故北方胜南方21 一巧=6 场.分Zl xg 二1.89 分. ___. C三_.。_.得分嘴资二分. 其 中 1 U 南方有 巧 支队，得 由抽 屉 原 理 知 南 队 中最 高 分 的 最 小 值 为 a a al 二了 十a’ 几=了 一a， 二13 分，而北 最高分的最大值为 6 十n + ·1欺呀 (20 8 年第2 期 ·高中版) 角军题 布开究 · 一1二1 分13 分，冠军在南方队 _C三_.。_. 2O n=8 时，北方有8 支队，得分二子资竺分. 其中~ ’，-- 一一寸’月“刀 ’J 一~ ，、”，月 10 ” 一尹、’北方队之间产生分数: 此二28 分. 故北方胜南方30一28 二2 场，南方有 17 支队，得分30 x9 =270 分.由抽屉原理知南方队 中最高分 的最小值 为 F270 1 [青]+，=16分，而北方最高分的最大值为2 +n一1二9 分，所以冠军在南方队，综合 1“，20 知冠军在南方队解法2 设北方球队共有 二支，则南方球队有 x +9 支，所有球队总得分为劝 ( Zx + 9 ) ( 2另+ 8 ) ，‘ . 、，己 _= 立二巴止-二之止二二二二