微积分在物理 中的简单应用.docVIP

0 求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力，弹力以及摩擦力。摩擦力总是与运动速度V的方向相反，其数值 重力在斜面上的分力为，如图二，将分解为两个分力：是沿轨迹切线方向的分力， ；是沿轨迹法向的分力，，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 （1） （2） 由（1）， 而 得到 （3） 式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一个变量，才能积分，注意到 （4） 而表示曲线在该点的曲率半径，根据（2）式， （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ， 积分，得到 ， 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长度为而且，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为当一边长度为，另一边长度为时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程 则 因为，所以 令可以求得链条滑离钉子时的速度大小 全转化成与x有关的式子，因为x有对应的式子。 再由得到 积分，得到 令x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为 求解棒下落过程中的最大速度 在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求： 棒下落过程中的最大速度。 解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有 （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为，设棒的截面积为S，则有 解得， （2） 取x坐标如图所示，则（1）式可以写为 做变量代换，令代入上式，得到 两边积分，得到 得到， 将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为 运用微分法求解阻尼平抛 质量为m的物体，以初速为，方向与地面成角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即，k为大于零的常数。求： 物体的运动轨道。 解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程 其分量式， （1） （2） 将代入式（1），得 改写成 两边积分，得到 可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于再积分，并以t=0时x=0,代入得到 （3） 同理，由于式（2）转化为 错了 不带负号 积分，并以t=0时，代入，得到 可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到 在那修正 （4） 由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程 显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。 例如：以初速620m/s,仰角发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km. 求解飞机的滑行距离 飞机以的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为，升力为，其中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求： 飞机从触地到停止所滑行的距离。 解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力，空气阻力为；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力如图一所示，应用牛顿第二定律，得到 由上两式消去N，得到 利用 得到 分离变量，积分 ， 得到 在飞机触地的瞬间，支持力N=0,由运动方程，得到 于是 这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社（升阻比），。代入数值计算后，得到 x=221m. 求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题 两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求： 两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。 解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为 为什么可以把两个小球的运动合并？ 这里的V是指矢量，这个式子不矛盾，且可以把1,2 两个小球用一个式子统一起来！ 它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故 分离变量 对于小球1，初始条件为时，故 (1) 对于小球2，初始条件是t=0时，故 得到 （2） 由（1）式，得到 积分，得到 由式（2）得到 积分