利用平方根的定义和性质解题的几个技巧.docVIP

-  PAGE 7 - 平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数. 例1、若求yx的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x≥0,得x≤2;x－2≥0,得x≥2;进一步可得x=2.从而可求出y=－6. 解 ∵, ∴ x=2; 当x=2时,y=－6.yx=(－6)2=36. 所以yx的立方根为. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而 例2、已知：一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a－1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了. 解 ∵2a－1与2－a是一正数的平方根,∴(2a－1)+(2－a)=0, a=－1. a的平方的相反数的立方根是 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零. 例3、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根. 分析 y=,要y最小，就是要和最小，而≥0，≥0，显然是=0和=0，可得a=2,b=－1. 解 ∵≥0，≥0，y=，∴=0和=0时，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=－1. 所以ba的非算术平方根是 四、巧用平方根定义解方程. 我们已经定义:如果x2=a （a≥0）那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x实际是方程x2=a （a≥0）的根. 例4、解方程（x+1）2=36. 分析 把x+1看着是36的平方根即可. 解 ∵（x+1）2=36 ∴x+1看着是36的平方根. x+1=±6. ∴x1=5 , x2=－7. 例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试. 利用平方根的定义及性质解题 如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数是a的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题． 例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数． 分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 解：由2a－1+a－11=0，得a=4，所以2a－1=2×4－1=7． 所以这个数为72=49． 例2 已知2a－1和a－11是一个数的平方根，求这个数． 分析：根据平方根的定义，可知2a－1和a－11相等或互为相反数． 当2a－1=a－11时，a=－10，所以2a－1=－21，这时所求得数为(－21)2=441; 当2a－1+a－11=0时,a=4,所以2a－1=7,这时所求得数为72=49. 综上可知所求的数为49或441. 例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根. 分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11, 所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81, 因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9. 例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（ ） （A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1 分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3； （2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1． 所以选（C）． 练一练: 已知x的平方根是2a－13和3a－ 2,求x的值. 已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值 3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根. 答案:1.49;2. 49或1225; 3.. 估计方根的取值，你会吗 在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手． 例１　不求的值，正确的是（　　） （A）3.15＜＜3.16　　　（B）3.16＜＜3.17 （C）3.17＜＜3.18　　　（D）3.18＜＜3.19. 分析：表示10的算术平方根，要确定在3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间. 解：计算知，. 所以＜10＜. 所以3.16＜＜3.17，应选