初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)和一次不等式(组).docVIP

初一数学竞赛系列讲座(8)　解一次方程（组）与一次不等式（组） 第  PAGE 9 页 共  NUMPAGES 9 页 初一数学竞赛系列讲座(8) 　解一次方程（组）与一次不等式（组） ? 一、知识要点 1、一元一次方程 方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b(a≠0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。 解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。 2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形 当a≠0时，方程ax=b有唯一解 当a=0，b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。 当a=0，b≠0时，方程ax=b无解。 3、一次方程组 解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 4、不定方程 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。 定理：若整系数不定方程ax+by=c (a、b互质)有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为： 5、一次不等式（组） 只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是axb或axb (a≠0)，任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项，合并同类项化为一般形式，解不等式的根据是不等式的同解原理。 6、不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质 (1)??? 反身性 如果ab，那么ba (2)??? 传递性 如果ab，bc，那么ac (3)??? 平移性 如果ab，那么a+cb+c (4)??? 伸缩性 如果ab，c0，那么acbc 如果ab，c0，那么acbc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 二、例题精讲 例1 解方程 分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。 解：移项，得 合并，得 去括号，移项，可解得 x= -5 评注：本题是整体处理思想的应用。 ? 例2 解关于x的方程 解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m 故 当4m-3≠0时，即 当4m-3=0时，即 此时，若 若 综上所述，当； 当； 当 评注：含参方程必须对参数进行讨论。 ? 例3 解方程组 (1) (2) 分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。 第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。 解：(1)设，代入(2)得k=5 ∴x=10，y=15，z=20 ∴原方程组的解为 (2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4) (1)-(4)得13x=4，则x= (2)-(4)得13y=8，则y= (3)-(4)得13z=14，则z= 所以原方程组的解为 评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。 ? 例4 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？ 分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。 解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， ∵这个关于a的方程有无穷多个解，所以有 由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解 分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组的