初2竞赛辅导专题1：1元2次方程整数根问题(整理).docVIP

专题一：一元二次方程整数根问题 利用判别式 例1.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。 解：∵方程有整数根， ∴⊿=16-16m≥0，得m≤1 又∵方程有整数根 ∴ 得 综上所述，－≤m≤1 ∴x可取的整数值是-1，0，1 当m=-1时，方程为－x-4x+4=0 没有整数解，舍去。 而m≠0 ∴ m=1 利用求根公式 例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。 解： 由求根公式得 即 由于x≠-1，则有 两式相减，得 即 由于x，x是整数，故可求得或或 分别代入，易得k=，6，3。 利用方程根的定义 例4.b为何值时，方程 和有相同的整数根？ 并且求出它们的整数根？ 解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得 解得b=1,x=2 当b=2时,两方程无整数根. ∴b=1,相同的整数根是2 四.利用因式分解（考试重点??? 例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数， 那么符合条件的整数a有___________个. 解: 当a=1时,x=1 当a≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得 ∵ x是整数 ∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个. 练习： 已知方程有两个不等的负整数根,则整数a的值是？ m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根． 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 六.构造等式 例9.(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程 的所有的根都是正整数. 解：设三个方程的正整数解分别为，则有 令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有 但 a≥1，b≥1，c≥1，又有 3-（a+b+c）≤0， ∴ 3-（a+b+c）=0 故 a=b=c=1 七.分析等式 例10.(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程 有一个整数根，则n=__________. 解：不妨设已知方程的整数根为α，则 整理。得 因为为整数，所以为整数 也一定是整数，要使为整数，必有 由此得，即 解得n=3或-2（舍去） ∴ n=3。