理论力学7_非线性动力学与混沌教程.ppt

第七章. 非线性动力学与混沌Chapter 7. Nonlinear Dynamics and Chaos;参考书;§7.1 引言;二. 决定性系统与不可预测性;1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。 广义相对论，量子力学也是决定论的。;0.235268 ? 0.235;初值敏感演示;线性系统是特殊的、近似的 非线性系统是普遍的、本质的（ex:弹簧、单摆） ;三. 常微分方程的一般形式;例1：Duffing方程;四. 相空间（相图）;阻尼弹簧振子;阻尼弹簧振子;§7.2 运动稳定性分析;3. 振荡解;二. 解的稳定性;(2) 如果解 是稳定的，且 则称此解是渐进稳定的。 (3) 不满足上述条件的解是不稳定的。;例2.;;三. 线性稳定性分析;若线性化方程的原点 是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态 是渐进稳定的； 若线性化方程的原点 是不稳定的， 则原非线性方程的参考态 是不稳定的。;2. 线性化方程组的解及其稳定性;系数矩阵的迹;(1) 两特征根实部都是负的;奇点（平衡点，定态）的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）;(2);(3);;例4： 分析阻尼单摆定态的稳定性;;稳定的焦点;③;2. 在奇点 处线性化方程组为;§7.3 极限环——渐进稳定的周期振荡;例5：Van der Pol 方程（电子管振荡）;二. 极限环存在的判据;三. 极限环的稳定性;例6：求非线性系统;联立，令等式两侧 的系数分别相等，得极坐标下方程：;①;③;④;四. 极限环的特点;Homework: ;§7.4 含弱非线性作用的一维振动——摄动方法;代入方程;零级解方程为简谐振动方程，其解为;;代回到原运动微分方程;零级解为;一级方程变为;把 代入二级解方程，可得二级解。;弱非线性作用下非线性振动的特点：;§7.5 非线性强迫振动——振幅破裂;利用关系式;振幅A（近似为系统的振幅）随驱动频率 的变化;;分谐振、组合频率谐振; 非线性系统受两个不同频率的外力同时作用时，系统除了以主要的频率 振动外，还包含有频率为 等组合谐振成份，若非线性项不太弱需要考虑高阶项时，振动将包含各种频率为 的成份。 即谐频， 则称组合频。 例：耳膜。;非线性受迫振动的特点;§7.6 亥姆霍兹木马(Helmholtz carousel);图片资料来源于/jomssorxlsvy/copy-of-helmholtz-carousel/;参考文献：R. R. Boullusa, et al., The reaction force on a Helmholtz resonator driven at high sound pressure amplitudes, Am. J. Phys., 60(8), pp722-726, 1992;=;若振动频率非常低使得可看作绝热过程：;为小量;当 时振幅最大;§7.7 分岔 (Bifurcation);二. 分岔的类型;定态;（1）奇点;;2. 霍普夫（Hopf）分岔;3. 倍周期分岔;1点（倍）周期;演示Logistic映射;§7.8 混沌的概念、特点及描述方法;令 仍记;例2：小行星Kirkwood间隙;例4：贝纳对流;;2倍周期相图;2变量系统周期运动;为无理数 准周期运动;四. 相体积演化，李雅普诺夫(Lyapunov)指数;2. 李雅普诺夫(Lyapunov)指数;将这一结果推广到2f维相空间：;由状态量守恒;(1)定常吸引子：2维空间中稳定的结点和焦点;(2) 周期吸引子：2维和3维空间中稳定的极限环。;(3) 准周期吸引子：3维空间中的环面。;该系统相体积随时间演化为;演示 洛伦兹吸引子;六. 自相似、分维;(2) 席尔宾斯基地毯 （Sierpinski carpet）;3. 实际的分形;(3) 海岸线;4. 力学系统中的分形——魔梯（魔鬼阶梯 Devil’s Staircase）;;5. 分维;康托尔集 (Cantor set);席尔宾斯基地毯 （Sierpinski carpet）;科赫曲