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分数阶微积分: 描述记忆特性与中间过程的数学工具 王在华 (中国人民解放军理工大学理学院, 211101南京) 在我们熟悉的经典微积分里，导数都是整数阶的，我们说函数的一阶导数、二阶导数、十阶导数，而不会说函数的1/2阶导数或者阶导数；同样，对于积分，我们有一重积分、二重积分、或者五重积分等，但没有2/3重积分或者重积分等概念。其实，早在1695年9月30日，法国数学家L’Hospital在给德国数学家Leibniz的信件中就提出这样一个问题: 如果采用通常使用的导数记号 那么当时，这个表达式的结果是什么？Leibniz的回复是“an apparent paradox from which，one day，useful consequences will be drawn”。这大概就是分数阶导数概念最早的源头。经过数学家与其它领域的专家300多年不懈的努力，分数阶微积分终于受到科技工作者越来越多的注意，并逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具[1-5]。本文将对分数阶微积分作一简要介绍，主要回答什么是分数阶导数？为什么要引入分数阶导数与分数阶积分?它们有什么特点和应用? 一 分数阶导数的定义与计算 分数阶导数是一个泛称,表示阶数取非整数(不仅仅为分数)的导数,它既表示阶数大于零时对应的分数阶导数,在不需要强调积分特有性质时也可表示阶数小于零时对应的分数阶积分。分数阶导数的定义有多种，最常用有Riemann-Liouville导数和Caputo导数。 在经典微积分里，我们可以定义求导运算和求积运算如下 它们满足如下关系式 这表明，求导运算是求积运算的左逆运算，且这两种运算一般说来不具有交换性。进一步，对任何自然数有 即求导运算是求积运算的左逆运算。现在，对连续函数，反复应用分部积分法可得 因此，对非正整数，我们可以定义分数阶积分 进一步，对实数，记为不超过的最大整数，取，利用导数与积分的运算公式，非整数阶的Riemann-Liouville导数定义为  MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT  (1) 如果利用, 则得到非整数阶导数的Caputo定义: (2) 由定义可知, 分数阶导数值与起始点的取值有关。另外，两种导数在数值上可能有差异，因为一般地有。 下面我们给出几个最简单的常用函数的Riemann-Liouville分数阶导数[1] Caputo导数成立类似的导数公式[1,2]。上述公式是整数阶导数公式的直接推广，但在一般情况下，分数阶导数公式都很复杂，对乘积、商与复合运算没有简单的求导公式，计算复杂性大大增加。对周期函数，可先按Fourier级数展开，然后利用上述公式对级数逐项求导即可。同样，如果函数能够展开为幂级数, 则也可以通过逐项求导得到函数的分数阶导数。 需要注意的是: 在经典微积分里, 常数的导数等于零, 但在上面最后一个公式中如果取, 那么常数1的Riemann-Liouville分数阶导数不为零。另外，由定义知，常数的Caputo分数阶导数(不是分数阶积分)等于零。 二 分数阶导数与分数阶积分的由来 从纯数学的角度讲，引入分数阶导数与分数阶积分是非常自然的事情，就像是由整数到分数、由分数到实数等由简单到复杂的必然结果。从力学与控制理论的发展需要看，也有必要引入分数阶导数与积分。 力学中，理想弹性材料的弹性力与弹性变形服从Hook定律，即 而理想Newton流体的应力与应变则满足如下本构方程 真实的材料既不是理想固体，也不是理想流体，而是介于理想固体与理想流体之间。可看作是自身对的0阶导数，因此，将非理想材料的线性本构关系可表示为 是很自然的，这里用到了分数阶导数。 粘弹性材料具有记忆特性。大量实验表明，用积分方程比微分方程表示其本构关系更准确，而分数阶导数定义是一种定积分，所以分数阶微积分特别适合发展粘弹性理论。考察如下形式积分 表示的记忆效应，其中称为记忆核函数。如果该过程不具有记忆效应，核函数为Dirac函数，即 则积累效应函数变为。如果该过程具有理想(全)记忆， 核函数为Heaviside函数, 即 则积累效应函数变为。直接计算无记忆和理想记忆情形对应核函数的Laplace变换分别为 将其一般化。对介于无记忆和理想记忆之间的情形，假设其核函数满足 由逆Laplace变换得到 其中为Gamma函数, 其定义是 满足。此时, 积累效应函数为 按分数阶导数的定义, 积累效应函数可表示为分数阶积分 控制理论中, PID控制是最常用的控制策略之一。对振动主动控制，采用位移反馈、速度反馈和加速度反馈可分别表示为 其中的位移、速度、加速度可分别视为位移的0阶导数、1阶导数和2阶导数，因而在一