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高三数学复习----------函数、方程、不等式解题方法集锦 函数是高中数学的重要内容，也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质，函数图象的变换等方面，并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查，在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数，加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式，而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形。在解决方程、不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决；在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略。 一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握 象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题，在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。 【例1】（99年全国）已知映射f:A→B,其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 分析：解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意。根据映射的定义，可知对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合B是集合A的象集，由对应法则，不难得出集合B={1，2，3，4}，故应选A。 【例2】（99年全国）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于 A.a B.a-1 C.b D.b-1 分析：此题主要考查反函数的概念。g(b)是函数y=f(x)当函数值为b时的自变量的值，所以g(b)= a，故选A。 与此相类似的还有： （2000年上海春季）若函数f(x)=，则f-1()= . 【例3】(2001年全国春季)设函数f(x)=，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。 分析：解决有关概念问题，一般都可以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明。 解法1：函数f(x)=的定义域为（-∞，-b）∪(-b,+∞)。函数f(x)在（-∞，-b）上是减函数，在(-b,+∞)上也是减函数。 取x1,x2∈(-b,+∞)，且x1x2那么 f(x1)-f(x2)=. ∵a-b0,x2-x10,(x1+b)(x2+b)0. ∴f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(-b,+∞)上是减函数。 同理可证f(x)在（-∞，-b）上也是减函数。 解法2：f/(x)=,显然，当x≠-b时，f/(x) 0恒成立，所以函数f(x)在（-∞，-b）∪(-b,+∞)上是减函数。 不难看出，利用导数解决有关单调性的问题有时还是很方便的。 【例4】（2000年全国）设函数f(x)=，其中a0。解不等式:f(x) ≤1. 分析：这个不等式是一个无理不等式，解无理不等式的基本思路是转化为有理不等式，然后再解。转化的基本方法是两边平方，在两边平方时要注意等价性。 解：f(x) ≤1即 由（2）得：x[(a2-1)x+2a]0. 当 0a1时，得：;当 a=1时，得：x0; 当 a1时，得：x0或。而这时因为，所以，当0a1时，原不等式的解集为：{x|}；当a1时，原不等式的解集为：{x| x0}. 解不等式是一个基本技能，应熟练掌握每一类不等式的基本解法，清楚容易发生的错误，这样才可能在解决时避免出现类似的错误。 【例5】（2000年上海）已知函数f(x)=,x∈. （1）当a=时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意的x∈,f(x)0恒成立，试求a的取值范围。 分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用。当a=时，f(x)=，当且仅当时等号成立，而，也就是说这个最小值是取不到的。 解：(1)当a=时，f(x)=，这时f/(x)=1-,当x∈时，f/(x)0,说明函数f(x)为增函数，所以当x=1时，取到最小值f(1)=3.5. (2)解法1：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，而函数g(x)=x2+2x+a在上增函数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a0，得：a-3。 解法2：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，即a-x2-2x恒成立，这只要a大于函数-x2-2x的最大值即可。而函数-x2-2x在上为减函数，当x=1