Newton迭代法收敛性.pdfVIP

第 29 卷 第 3 期 华 侨 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) Vo l. 29 No . 3 2008 年 7 月 Jo urnal of H uaqiao U niversity ( Natural Science) Jul. 2008 文章编号: 10005013( 2008) 03046404 Newton 迭代法收敛性 陈恒新 ( 华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021) 摘要: 给出一种新的, 具有较大收敛域的 N ewt on 迭代法和 N ewto n 下山法收敛性定理, 以及误差估计 式. 它 不要求函数 f ( x )存在二阶 导数, 只需要函数 f (x ) 存在一阶导数, 便 可根据文中定理对其收敛性进 行判别, 弥 补了以往相关定理的不足, 并通过数值例子给予 验证 关键词: N ewto n 迭代法; N ew ton 下山法; 收敛 性; 判别定理 中图分类号: O 241. 6 文献标识码: A f ( x k ) 用 N ew ton 迭代法 x k+ 1 = x k - , k= 0, 1, 2, , 求方程 f ( x ) = 0 的根是一种行之有效的算法. f ( x k ) 但一般情况下, New ton 法只具有局部收敛性[ 1] , 即它对初值取法较为苛刻. 文[ 2] 给出了在[ a, b] 区间 上的一种 New ton 迭代法收敛定理 该定理不仅要求函数 f ( x ) 在区间[ a, b] 上有二阶导数, 且要求其 二阶导数 f !( x ) 在[ a, b] 上不变号, 这在实际应用中有很大的不便. 如果遇到函数 f ( x ) 的二阶导数不存 在, 或 f !( x ) 在[ a, b] 上变号, 则该定理便不能使用[ 35] . 为此, 本文提出一种新的 New ton 迭代法收敛性 定理, 以及相应的 Newto n 下山法收敛性定理. 1 定理证明 定理 1 设函数 f ( x ) 在有限区间[ a, b] 上存在一阶导数且满足如下 3 个条件. ( ?) f ( a) f ( b) 0. ( #) 存在正数 m, M, 其中 m ? M , 且 2m M , 使( a) 0 m ? f ( x ) ? M ( 或( b) - M ? f ( x ) ? - m 0) , x 0 + a x 0 + b x 0 + a x % [ a, b] ( ) 对任意满足初值条件, x 0 % [ a, b] 且 f ( ) ? 0, f ( ) ?0( 对( b) 为 f ( ) ? 2 2 2 x 0 + b 0, f ( ) ? 0) 的初始近似值 x 0 . 由 New ton 迭代式产生的迭代序列{ x k } 收敛于方程 f ( x ) = 0 在[ a, 2 * * M k * M k b] 上的唯一解 x , 并且有误差估计式| x k - x | ? ( - 1) | x 0 - x | ? ( - 1) ( b- a) . 为说明定理 1 m