2012-2016全国卷圆锥曲线(理科).doc

 PAGE 12 2012-2016全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，．已知以为圆心，为半径的圆交于两点． （Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程． （Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (Ⅰ)求的方程； (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点． (Ⅰ) 当时，分别求在点和处的切线方程； (Ⅱ) 轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由． 5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点． (I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程； ( = 2 \* ROMAN II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 2012-2016全国卷圆锥曲线解答题(参考答案) 1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，．已知以为圆心，为半径的圆交于两点． （Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程． （Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值． 【解析】(Ⅰ)由对称性知是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， 由得． 圆的方程为． （Ⅱ）由对称性设，则． 由点关于点对称得，从而，所以． 因此，直线，即． 又，求导得，即，从而切点． 又直线，即． 故坐标原点到直线距离的比值为． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力． 2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (Ⅰ)求的方程； (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求． 【解析】由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径． 设动圆的圆心为，半径为． (Ⅰ)因为圆与圆外切且与圆内切， 所以，且． 由椭圆的定义可知， 曲线是以为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)， 其方程为． (Ⅱ)对于曲线上任意一点，由于，所以． 当且仅当圆的圆心为时，． ∴当圆的半径最长时，其方程为． 当的倾斜角为时，与轴重合，可得． 当的倾斜角不为时，由知不平行轴．设与轴的交点为， 则，可求得， ∴设，由与圆相切得，解得． 当时，将代入 整理得． (*) 设，则是(*)方程的两根．所以，． ． 当时，由对称性知． 综上，或． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想． 3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 【解析】(Ⅰ)设，由条件知，得． 又，所以，，故的方程． （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为， 联立直线与椭圆方程：，化简得：． ∵，∴． 设，则， ∴， 且坐标原点到直线的距离为． 因此， 令，则． ∵，当且仅当，即时，等号成立，∴． 故当，即，时的面积最大． 此时，直线的方程为． 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想． 4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点． (Ⅰ) 当时，分别求在点和处的切线方程； (Ⅱ) 轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题设可得或． 又，故在处的导数值为． 在点处的切线方程为，即． 处的导数值为． 在点处的切线方程为，即． 故所