解方程讲解归纳.docVIP

知识归纳 1．等式的概念 用等号表示相等关系的式子叫做等式． 等式的左边与右边都是代数式． ’ 2．方程的概念 含有未知数的等式叫方程，方程中一定含有未知字母，而且必须是等式，二者缺一不可． 3．一元一次方程的概念 在方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程． 一般用x、y、z等表示未知数，用a、b、c等字母表示常数． 4．等式的基本性质 性质1．等式的两边都加上(或减去)同一个数或同—个代数式，所得的结果仍是等式．即若a=b则a±m=b±m 性质2．等式两边都乘以同一个数(或同除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．即若a=b则am=bm或a/m=b/m(m≠0) 此外，等式还有其他性质：若a=b，则b=a，若a=b，b=c，则a=c 5．与方程有关的一些概念 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解． 解方程：求方程的解的过程叫解方程． 根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 6．一元一次方程的一般式 任何形式的一元一次方程，经适当变形后，总能变成形为ax=b(a≠0，a、b为已知数)的形式，这种形式的方程叫—元一次方程的一般式．注意a≠O这个主要条件，它也是判断方程是否是一元一次方程的重要依据． 7．关于移项 (1)移项实质是等式的基本性质1的运用． (2)移项时，一定记住要改变所移项的符号． 8．解一元一次方程的一般步骤 一般分为五个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．具体解题时，有些步骤可能用不上；有些步骤可以顺序颠倒；有些步骤可以合写，以简化运算，要根据方程的特点灵活运用． 例1 解方程 　　 　　解法1 从里到外逐级去括号．去小括号得 　　去中括号得 　　去大括号得 　　　 　　解法2 按照分配律由外及里去括号．去大括号得 　　化简为 　　去中括号得 　　去小括号得 　　　 　　　 　　 　　例2 已知下面两个方程 3(x+2)=5x，① 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ② 　　有相同的解，试求a的值． 　　分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值． 　　解 由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有 4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)， 7(a-3)-3(a-3)=18-12， 　　 　　例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解． 　　解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21， 　　例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0． 　　分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况． 　　解 把原方程化为 m2x+mnx-mn-n2=0， 整理得 m(m+n)x=n(m+n)． 　　 　　当m+n≠0，且m=0时，方程无解； 　　当m+n=0时，方程的解为一切实数． 　　说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论． 　　例5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2． 　　分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程． 　　解 将原方程整理化简得 (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 　　 即 (a2-b2)x=(a-b)2． 　　(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解 　　(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解． 　　例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值． 　　解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以 m2-1=0，即m=±1． 　　(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为 199(1+4)(4-2×1)+1=1991； 　　(2)当m=-1时，原方程无解． 　　所以所求代数式的值为1991． 　　例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值． 　　解 将原方程变形为 2ax-a=3x-2， 　　即 (2a-