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微分方程数值解法上机报告
微分方程数值解法
上机作业报告
姓名：
学号：
院系：
E-mail：
完成日期：2010-06-01
第一次上机作业
1.上机任务
用四阶Runge-Kutta方法求解如下初值问题的数值解，并与精确解进行比较。
（1），，初值，步长
精确解为：。
（2），，初值，步长
精确解为：。
2．算法介绍
第一种四阶Runge-Kutta方法为：
第二种四阶Runge-Kutta方法为：
其中第一种方法更常用，但我们在下面的实验中，对这两种方法都进行了演示。
3.实验结果
（1）测试用例（1）的实验结果为：
t u u1 Δu1 u2 Δu2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 1 1 0 1 0
2.1000 1.1909 1.1909 -0.0000 1.1909 -0.0000
2.2000 1.3667 1.3667 -0.0000 1.3667 -0.0000
2.3000 1.5308 1.5308 -0.0000 1.5308 -0.0000
2.4000 1.6857 1.6857 -0.0000 1.6857 -0.0000
2.5000 1.8333 1.8333 -0.0000 1.8333 -0.0000
2.6000 1.9750 1.9750 -0.0000 1.9750 -0.0000
2.7000 2.1118 2.1118 -0.0000 2.1118 -0.0000
2.8000 2.2444 2.2444 -0.0000 2.2444 -0.0000
2.9000 2.3737 2.3737 -0.0000 2.3737 -0.0000
3.0000 2.5000 2.5000 -0.0000 2.5000 -0.0000
（2）测试用例（2）的实验结果为：
t u u1 Δu1 u2 Δu2
--------------------------------------------------------------------------------
1 2 2 0 2 0
1.2000 2.6188 2.6188 -0.0000 2.6188 -0.0000
1.4000 3.2711 3.2710 -0.0000 3.2711 -0.0000
1.6000 3.9520 3.9520 -0.0000 3.9520 -0.0000
1.8000 4.6580 4.6580 -0.0000 4.6580 -0.0000
2.0000 5.3863 5.3863 -0.0000 5.3863 -0.0000
4.结果分析与讨论
由以上结果可以看出，两种格式的四阶Runge-Kutta方法的求解精度都是比较高的。
5.Matlab源程序
为了保持程序的通用性和可拓展性，我把核心程序和测试程序分开编写。
（1）核心程序：
function u=RungeKutta04(f,a,b,u0,h,type)
%四阶Runge-Kutta方法求解常微分方程初值问题
%f为关于u和x的句柄函数，满足u=f(x,u)
%a和b分别为求解区间的左端点和右端点
%u0为常微分方程的初始值，即u(a)=u0
%h为求解步长
%type表示求解公式的类型，可取0和1，也可以省略，默认为0
%
%
%2010-05-04
%设定默认的type值
if nargin==5||type~=1
type=0;
end;
%产生求解结点
t=a:h:b;
%预定义u
u=zeros(1,length(t));
u(1)=u0;
%判断求
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