07_插值与数据拟合探析.ppt

数学建模;第七讲 插值与数据拟合;§7.1 引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi, yi)(i = 1, 2, …, n)揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式 y = f (x) 来表示。函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。; §7.1.1 插值 引例 7.1.1 凸轮是一个具有曲线轮廓或凹槽的构件，其工作廓线是滚子中心的包络线。现有一凸轮其工作廓线分 A、B、C 三段，在实际使用中发现，A 段和 C 段的行程符合设计要求，而 B 段的行程必须进行修正设计。 已知凸轮 A 段曲线数据如表 7.1.1(1) 所示，凸轮 C 段曲线数据如表 7.1.2(2) 所示。 请根据 A 段和 C 段曲线的数据，求出 B 段上 xi = 244, 245, 246, 247, 248 的数据。; 表 7.1.1(1) A 段曲线数据 表 7.1.2(2) C 段曲线数据 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 ; 插值问题的基本提法：对于给定的函数表 其中 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，x0, …, xn 为 [a, b] 上 n ? 1 个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 {P(x)} 中，选出一个使 P(xi) = yi，i = 0, 1, …, n (7.1.1) 成立的函数 P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题(见图 7.1.1)。; 为便于叙述，通常称区间 [a, b] 为插值区间，称点 x0, x1, …, xn 为插值节点，称函数类 {P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1)为插值条件，称函数 P(x) 为插值函数，称 f(x) 为被插函数。求插值函数 P(x) 的方法称为插值法。 ; §7.1.2 数据拟合 引例 7.1.2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 表7.1.2 根据这些数据，我们希望寻找一个 y = f (t) 的近似表达式(如建立浓度 y 与时间 t 之间的经验公式等)。; 从几何上看，就是希望根据给定的一组点(1, 4.00)，…, (16, 10.60)，求函数 y = f(t) 的图象的一条拟合曲线。 ; 数据拟合问题的基本提法：对于给定的函数表 其中 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，x0, …, xn 为 [a, b] 上 n ? 1 个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式 ? (x)，使 ? (x) 与 f (x) 在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题(见图 7.1.2)。;图 7.1.2 数据拟合问题示意图 通常，我们称 ? (x) 为给定数据点的拟合函数。; §7.1.3 插值与数据拟合的基本理论依据 插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的 Weierstrass 定理：设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则对 ?? 0，存在多项式P(x)，使得 即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。; §7.1.4 实际应用中两种方法的选择 在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑： 1．如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。; 2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为：一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。;§7.2 一维数据的基本插值方法简介 插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 [a, b] 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值。; §7.2.1 一维数据的分段多项式插值