用因式分解法确定方程整数解.docVIP

－  PAGE 2 － 用因式分解法确定方程的整数解 因式分解是整式运算的基础，更是研究代数变形的重要工具，利用因式分解除了可以进行数值计算，代数式的化简求值，还可以确定不定方程或方程组的整数解问题，为了方便同学们的学习，现就利用因式分解法确定方程的整数解问题举例说明. 例1 求方程6xy+4x－9y－7＝0的整数解. 分析：观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解即可寻找到求解的突破口. 解：　因为6xy+4x－9y－7＝6xy+4x－9y－6－1＝2x(3y+2)－3(3y+2)－1＝(2x－3)(3y+2)－1，所以原方程可化为(2x－3)(3y+2)＝1， 由于x、y为整数， 所以有或解得（不合题意，舍去），或 即方程6xy+4x－9y－7＝0的整数解是 例2 整数a，b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b＝＿＿＿. 分析：可以通过适当的变形，再利用因式分解来确定整数解，然后求出a+b. 解：因为6ab＝9a—l0b+303可以变形为6ab－9a+l0b－15＝303，所以通过分解因式得(3a+5)(2b－3)＝288＝25×32， 而a、b是整数，所以只有3a+5＝25且2b－3＝32成立. 所以a＝9，b＝3.于是a+b＝12. 例3 如果x，y是整数，且x2+2004xy－2005y2＝1，那么x＝＿＿＿，y＝＿＿＿. 分析：考虑2004与2005之间相差1，所以为了方便因式分解，可以将2004xy拆成xy和－2005xy，这样经过适当地分组即可分解因式求解. 解：因为x2+2004xy－2005y2＝x2－xy+2005xy－2005y2＝x(x－y)+2005y(x－y)＝(x－y)(x+2005y)，所以x2+2004xy－2005y2＝1可以转化为(x－y)(x+2005y)＝1. 因为x、y是整数，所以有或解得或 例4　一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数. 分析：假如将这个正整数设出来为a，加上100后的完全平方数是n2，加上168后的另一个完全平方数是m2，这样就可以利用三个未知数列出两个方程，考虑这三个未知数都是正整数，可利用因式分解求解. 解：设这个正整数为a，两个完全平方数分别为m、n， 则根据题意，得即m2－n2＝68. 因为m2－n2＝（m+n）（m－n）＝1×2×2×17，而m、n均为正整数， 所以（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）.从而所以可求得a＝156.即这个正整数是156.