第九章积分技巧.doc

第七章 積分技巧 §7.1 基本積分法則 §7.2 分部積分 §7.3 三角函數的積分 §7.4 三角代換法 §7.5 配方法即部分分式法 §7.1 基本積分法則 積分不像微分，在微分時，多一個平方或一個根號，只要用連鎖律做微分即可。在積分時，多一個平方或一個根號，方法會有非常大的差異。 例1 (i)(ii)(iii) 解：(i) (ii)令，則 (iii) 例2 解： 令，則 例3 解：令，則 例4 解：令，則 例5 解： 令，則 例6 解：令，則 例7 解：令，則 例8 解：令，則， 例9 解：令，則， 則， 例10 解：令，則， 例11 (i) (ii) (iii) (iv) 解：(i) 令，則， (ii) ， 令，則 (iii) 令，則 (iv) ， 令，則 例12 解： 令，則 例13 (i)(ii) 解： (i) (ii) 例14 解： 令，則， §7.2 分部積分 在兩個函數相乘的微分，， 此種方法稱為分部積分，作法如下： 將原先的被積分函數拆為兩個函數相乘，將較容易微分的函數令為，比較容易積分的函數令為，再求出及，然後再代入公式做積分。 例1 解：較容易微分，而不易積分。 令， 則， 例2 解：的微分或積分都是，而的微分是1，積分是。 令， 則， 例3 解：的微分是，積分是。 令， 則， 例4 解：較容易微分，而不易積分。 令， 則， 但若被積分函數只有一項，而非兩項相乘，則視為被積分函數乘上1即可。 例5 (i) (ii) 解：(i)令， 則， (ii)令， 則， 令，則 例6 解：的微分或積分都是，的微分是，而積分是。 與哪一個是都可以， 令， 則， 關鍵在現在這裏，剛才令，現在就要繼續令。 令， 則， 例7 解：較容易微分，而不易積分。 令， 則， 令，則 ， 例8 解：，且易積分。 令，