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第二章 最优化的数学表达 许多重要的经济模型的研究起点是假设经济人在给定的环境下寻求到达某种 最好，或者最优的结果。因此我们介绍如何解决最大化的问题的数学方法。 1 一个变量函数的最优化 假设企业的经理渴望出售一种特定的商品以使利润最大化，假设企业所获得 的利润（? ）仅取决于出售商品的数量（q），它的数学表达式为：? ? fq() df 最大化的一阶条件： ? 0 dq ? qq? df2 最大化的二阶条件： ??fq() 0 2 * qq? dq ? qq? ? q 举例：假设利润与出售商品数量的关系是：? ??1000qq 52 ，则 d? d 2? ?1000 ? 10q ? 0 ，因此 q? ?100。同时 ? ?10 ? 0 ，满足最大化的二阶条 dq dq2 件。讲课时可以画图辅助说明。 2 多变量函数及其最大化 与经济问题有关的很少是单一变量函数。例如，消费者的效用取决于消费的每 一种商品的量，对于厂商的生产函数，生产的量取决于投入生产过程的劳动、资 本与土地的量。 y? f( x12 , x ,..., xn ) 最优化的一阶条件： f12? f ?... ? fn ? 0 （临界点） 偏导数，它体现了其他情形均相同的假设。 最优化的二阶条件：我们假设 y? f( x12 , x ) ， 则 dy?? f1 dx 1 f 2 dx 2 ， 2 d y?( f11 dx 1 ? f 12 dx 2 ) dx 1 ? ( f 21 dx 1 ? f 22 dx 2 ) dx 2 2 2 2 d y? f11 dx 1 ? f 12 dx 2 dx 1 ? f 21 dx 1 dx 2 ? f 22 dx 2 By yong’s theorem ff12? 21 2 2 2 d y? f11 dx 1 ?2 f 12 dx 2 dx 1 ? f 22 dx 2 要使上式在任何情况之下均小于零：1 如果 dx21??0,或 dx 0 ，则 f11 ? 0 2 2 如果 dx21, dx 均不等于零，则 f11 f 22?? f 12 0 如果临界点是局部最大点，则其二阶条件必须满足某些约束，因为只有某些 形状的函数满足这些约束。为方便或通过设计，本课程所提到的函数大多满 足这些约束条件，因此我们通常只需要考虑一阶条件即可。但不能据此认为 二阶导数不重要。 y? ?( x ? 1)22 ? ( x ? 2) ? 10 举例：假设健康情况方程式为： 12 22