格林公式和其应用.ppt

格林公式及其应用 ;一、格林公式;一、格林公式; 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通 俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。; 对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。; 定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有 ;在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得;根据公式（1）有：;证明:;解：;当; 其中 l 的方向取逆时针方向，于是：; 一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。; 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：; 定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G 具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条件等价： ;;例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分;x;将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得;三、二元函数的全微分求积;定理 3; 说明： ;O;例 ：;小结;3.等价条件;闭合;专项练习;;2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积： 圆 ：; 3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值：; 解:; 4 利用格林公式，计算下面曲线积分：