武汉大学考博概率论和随机过程.docVIP

1. （12分）简答题 （1）随机过程的遍历性对于工程应用的实际意义。 （2）在分析平稳随机过程的概率结构时，为什么仅研究其功率谱密度，而不象确定性过程那样研究其频谱？ 答：（1）有了遍历性，数据采样可随时间顺序抽样，遍历性是传统的参数估计、假设检验等基本理论方法的理论正确的保障。（6分） （2）随机过程的样本函数一般不满足付氏变换的条件，随机过程的样本函数不易获取，自相关与功率谱构成一付里叶变换对，而自相关对于平稳随机过程是极其重要的。（6分） 2. （16分）已知，，（为实数，），与独立同分布，。 （1）求的特征函数。 （2）利用特征函数求的二阶原点矩与二阶中心矩。 （3）给出的概率密度函数。 答：（1），的特征函数为，的特征函数为 （6分） （2）的二阶原点矩与二阶中心距分别为与。 （6分） （3），概率密度为。 （4分） 3. （25分）随机过程，是已知的广义平稳过程，均匀分布在上，是常数。 （1）若与相互独立，讨论的平稳性。 （2）若为零均值，方差为的实窄带平稳高斯过程，为其包络，求， 。 （3）若为零均值，方差为的实窄带平稳高斯过程，为其包络，问与 是否独立？ 答：（1） （3分） （3分） （3分） 所以，是广义平稳的。 （1分） （2） （8分） ， （4分） （3）与在同一时刻独立，一般情况下相互不独立。 其证明方法是求与的二维联合密度和二维边沿密度，可以得出二者不独立。 （3分） 4. （20分）设某线性系统的传输函数 （为虚数单位，为正实数） 若输入平稳随机信号的自相关为，输出记为 （1）求自相关函数与平均功率。 （2）求的自相关系数和相关时间。 （3）比较与，哪个过程的起伏速度快？给出其原因。 答：（1），平均功率。 （8分） （2） （2分） （4分） （3），，由于， 所以，可得过程的起伏速度比过程快。 （4分） 原因，是低通滤波器，从滤去了高频信号得到低频信号，起伏速度比慢。 （2分） 5. （12分）设是零均值，方差为的实平稳高斯过程，是的希尔伯特变换。 （1）求证是零均值，方差为的实平稳高斯过程。 （2）求证：与在同一时刻是不相关的，是相互独立的。 答：（1）是线性变换，正态的线性组合还是正态。 ， 由于，，可得，所以也是零均值，方差为的实平稳高斯过程。 （8分） （2）由于，所以，与在同一时刻是不相关的，正态过程不相关与独立是等价的，所以与在同一时刻是独立的。 （4分） 6. （15分）一质点从原点出发，在直线上随机徘徊，质点每时刻作一次随机移动，用表示时刻质点随机移动的状态，其状态空间为，为表示质点没有移动，为正整数表示质点右移步，为负整数表示质点左移步，，，相互独立，用表示时刻质点在直线上的坐标。 （1）输出的状态空间。 （2）证明序列是一个马尔可夫链。 （3）求的一步转移概率。 答：（1???的状态空间为 （4分） （2）由题意有： 所以，序列是一个马尔可夫链。 （7分） （3）求一