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“概率论与数理统计”第一章[修改]
概率论与数理统计
开课学院:信息学院 数学系
参考书:1.《概率论与数理统计教与学参考》
阎国辉 主编
中国致公出版社
2.《概率论与数理统计中的典型例题分析与习题》
龙永红 主编
高等教育出版社
概率论是研究什么的?
概率论与数理统计的研究对象
→随机现象:不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学
序 言
第一章 随机事件及其概率
第一节 随 机 事 件
第三节 条件概率
第四节 事件的独立性和伯
努利概型
第二节 随机事件的概率
第五节 习题课
一、概率论研究对象: 随机现象
3.随机试验的特点
1.可在相同条件下重复进行;
2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;
3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可表示为E
第一节 随机事件
1.确定性现象(或必然现象)
在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100℃肯定会开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性)
2.随机现象(或不确定性现象)
在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果.
如抛一枚硬币,观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果.
E1: 抛一枚硬币,分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;
E2: 从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数;
E3:将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;
E4:掷两颗骰子,考虑可能出现的点数之和;
E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
E6:在一批灯泡中任取一只,测其寿命;
E7:任选一人,记录他的身高和体重.
随机试验例子
随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.
1. 样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间,记为
2. 样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为
3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为
二、概率论的研究范畴:样本空间(P4)
随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定的.例如连续抛一枚硬币两次,如果观察正面或反面朝上的情况,并用数字1表示正面朝上,数字0表示反面朝上
三. 随机事件
1.定义 随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件, 简称事件.记作A、B、C等
显然,随机事件在试验中可能发生也有可能不发生.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2.两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件
例如 对于试验E2 ,以下A 、 B、C即为三个随机事件
A=“至少出一个正面”
={HHH, HHT, HTH, THH,HTT,THT,TTH};
B=“三次出现同一面”={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面”={HTT,THT,TTH}
再如,试验E6中D=“灯泡寿命超过1000小时”
={x:1000xT(小时)}.
四、事件之间的关系
可见,可以用文字表示事件,也可以将事件表示为样本空间
的子集,后者反映了事件的实质,且更便于今后计算概率.还
应注意,同一样本空间中,不同的事件之间有一定的关系,如试验E2 ,当试验的结果是HHH时,可以说事件A和B同时发生
了;但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生.易见,事
件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的,这种关系
可以用集合之间的关系来描述.
1.包含关系
“A发生必导致B发生”记为AB
2.事件的相等
A=B AB且BA.
3.和事件
n个事件A1, A2,…, An至少
有一个发生,记作
4.积事件
A与B同时发生,记作 AB=AB
n个事件A1, A2,…, An同时
发生,记作 A1A2…An
“事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B
5.差事件
A-B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生(或在A而不在B内),
思考:何时A-B=?何时A-B=A?
6.互斥的事件
AB= (互不相容事件)
五、事件的运算
1、交换律:AB=BA,AB=BA
2、结合律:(AB)C=A(BC),
(AB)C=A(BC)
3、分配律:(AB)C=(AC)(BC),
(AB)C=
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