数列中裂项相消常见策略.docVIP

数列中裂项相消的常见策略 化娟 （甘肃省临泽一中 734000） 裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考. 1 利用分式的通分进行裂项 通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用进行裂项. 求和1+＿ 分析 因为， 所以 原式=2 已知等差数列满足： a=7,a+a=26, 的前n项和为S 求a及S 令b,求数列的前n项和为T. 分析 （1）略. (2)由，得, 从而 因此 ===. 2 利用根式的分母有理化进行裂项 分母有理化可以把分母中的根式去掉，从而转化为差的形式进行裂项.例如可以利用分式等. 已知数列满足，求. 分析 由==. 得 =. 3 利用配凑法进行裂项 把数列通过加一个数再??一个数或者乘一个数再除一个数，凑成差的形式进行裂项. 例如等形式. 已知数列满足条件，且，设，求的通项公式. 分析 将代入，得 ， 从而 . 令则. 从而 = 2=2()+=， 于是 . 4 利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 可以 变形为或者其他形式，从而解决问题. 例5 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和. 分析 （1） （2）由题意和第（1）小题的计算结果，知 另一方面，利用，得 于是 5 利用对数的运算性质进行裂项 对数运算有性质，有些试题则可以构造这种形式进行裂项. 例6 各项都是正数的等比数列满足，当时，证明： . 分析 设等比数列的公比为q（q），由，得， 从而，， 因此， 左边= 右式. 6 利用排列数或组合数的性质进行裂项 排列数有性质，组合数有这样的性质，都可以作为裂项的依据. 例7 求和： 分析 直接利用可得结果是. 例8求和：. 分析 有，得. 例9求和：. 分析 利用组合数性质，有，从而.