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对一些看似是高次方程的分式方程解法的探索 108班 董学铖 高中学习阶段，解方程必须又快又准，但有时候看到一些次数比较高的方程，尤其是分式方程，因为消去分母会使次数升高，使方程看起来好像无从下手。但这种方程注意解题技巧很关键。 比如下面这道题： 解方程： 这个方程看似普通，但利用对角相乘的手段看似很愚蠢，光是乘开头的就要花很多时间，这是不值得的。 那该怎么办呢？ 这时候，观察方程，发现分子分母只有一次项的系数是不同的，这时便想到了合比定理和分比定理。 证明如下： 于是，原方程可化为： 即 这时刻要注意了！当时方程失去意义。 但当时，原方程是有意义的！于是可以确定是原方程的一根，不能漏掉。 在方程中由于，于是用对角相乘得到： 这里的x不可以约去，而要把右边移到左边，得到： 即： 所以， 都是原方程的根。 又如： 先用比较蹩脚的方法试试。 用 乘两边， 则有： 这一步许多时候就不小心展开了，这是不可取的。 可以化成： 化简后就有： 由于，所以无实数解。 于是， 但这种解法没有技术含量。 观察原方程，发现满足这个形式： （a, b, c均不为零） 在原方程中，和都是二项式且， 于是，用乘两边，可得同解方程： 解这个方程自然会想到化为： 于是，就有了： or 如果和有公因式，即是这个公因式为零得出的x的值为增根。 如果和互质，即既约，则和无同根，则不可能引入增根。 于是，本题可解。 用乘两边，得到： 就解得： or 即， or 同样得到了方程的实根和虚根（有必要的话）。这样看来就像是用了换元法 令，也可以求解。 所以解比较繁琐的方程前，要先观察，找寻技巧，再演算，就能解得更快更准！