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奥数辅导资料一元一次方程 第  PAGE 9 页 共  NUMPAGES 9 页 奥数辅导资料一元一次方程 【内容综述】 　　一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。 　　只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。 　　解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。 【要点讲解】 　　§1 含参量的一元一次方程 　　含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。 　　因为未注明，所以它的解有下面三种情况： 　　（1）当时，方程有唯一解； 　　（2）当时，方程的解为任意数； 　　（3）当，时，方程无解。 　　★例1 解关于χ的方程。 　　　　　 　　　思路 这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。 　　解： 把原方程变形为 　　　　即 　　　　当，即且时，方程有唯一解； 　　　　当且，即且时，方程无解； 　　　　当且，即时，方程的解为任意数。 　　★★例2 若a，b，c是正数，解方程。 解法一：原方程两边乘以abc，得到方程 　　　　, 　　　　移项合并同类项得 　　　　即 　　　　由，，知 　　　　, 　　　　即。 　　解法2：对原方程左端的每一项减去1，得 　　　　即 　　　　∵由，，知 　　　　∴ 　　　　∴ 　　　　说明 通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。 　　★★例3 k为何正数时，方程的解是正数？ 　　 思路 当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定： 　　（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。 　　（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。 　　（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。 　　解：按未知数χ整理方程得 　　　　要使方程的解为正数，需要 　　　　不等式的左端 　　　　因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。 §2 含有绝对值符号的一次方程 　　解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。 　　★★★例4 若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（ ） 　　　　（A）；　　　　（B）； 　　　　（C）；　　　　（D）； 　　思路 对于方程， 　　当时，此时方程无解； 　　当时，此时方程的解为； 　　当时，此时方程的解为或。 　　解：无解，则 　　　　有一个解，则 　　　　有两个解，则。 　　　　所以，成立，选择（A）。 　　例5 解关于χ的方程 　　　　（1）； 　　　　（2）。 　　思路 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令 　　　　，，分别得到χ=-2，χ=3，用-2，3将数轴分成三段：χ≥3，-2＜χ＜3，χ≤-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。 　　解：（1）当χ≤-2时，原方程化为 　　　　解得χ=-2； 　　　　当-2＜χ＜3时，原方程化为 　　　　即5=5，所以-2＜χ＜3是原方程的解。 　　　　当χ≥3时，原方程化为 　　　　解得χ=3。 　　　　综合以上得，原方程的解为-2≤χ≤3。 　　（2）当χ＜2时，原方程化为 　　　　即 　　　　由知，若a1时，解为； 　　　　当2≤χ≤3时，原方程化为 　　　　即若a=1时，解为2≤χ≤3； 　　　　当a3时，原方程化为 　　　　即 　　　　由知，若a1时，解为。 　 综合以上得；当a1时，解为；当a=1时，解为2≤χ≤3；当a1时，无解。 说明 由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”；在每种情况下求得的解必须在分类条件内；对含字母的方程需要进行讨论。 ★★★★例6 求关于χ的方程 的所有解的和。 　　思路 此方程有两层绝对值符号，先由，利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程，然后再去掉里层的绝对值符号求解。 　　解：由原方程得 　　　　 　　　　即 　　　　 　　　　∴，，，， 　　　　故 §3 含有高斯函数符号的一次方程 　　高斯函数表示不超过的最大整数，如，，，解含高斯符号的方程的基本方法是，利用定义脱去方括号符号，转化为普通一元一次方程求解。 　　★★★★例7 求方程的所有根的和。 　　解：设（t为整数。） 　　　　则, 　　　　因为 　　　　即,