坐标系和参数方程选讲.docVIP

 PAGE 4 极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理 极坐标 1、极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。 2、极坐标和直角坐标互化公式： 或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. 3．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中， HYPERLINK 如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝f?t?，,y＝g?t?，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)． (2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝rcos α，,y＝rsin α.)) (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的参数方程是____________，其中φ是参数． 椭圆eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(ab0)的参数方程是____________，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y2＝2px(p0)的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt.))(t为参数)． 步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围） 例1、把下列参数方程 ，并说明它们各表示什么曲线？ 练习、将下列参数方程化为普通方程： 例2.已知点P(x,y)是圆上的动点, (1)求2x+y的取值范围; (2)若恒成立,求实数a的取值范围. 例3在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝m＋2cos α，,y＝2sin α))(α为参数)，曲线D的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2－4t，,y＝3t－2))(t为参数)．若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围． 例4 求曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,t2＋1)，,y＝\f(2t,t2＋1)))被直线l：y＝x－eq \f(1,2)所截得的线段长． 例5 ．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos α，,y＝sin α))(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判断点P与直线l的位置关系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 例6．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)t＋2，,y＝\f(4,5)t))(t为参数)． (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上的一动点，求MN的最大值． 例7、在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2cos α，,y＝sin α)) (α???参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2)，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值． 例8　在平面直角坐标系xOy中，圆C的