华宏2003年mba联考辅导资料[b].docVIP

 HYPERLINK / \t _parent  (海量营销管理培训资料下载) 中篇 3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组, 设A是m?n矩阵B是n?s矩阵. A的列向量组为?1,??2,? ,?n,B的列向量组为?1,??2,? ,?s, AB的列向量组为?1,??2,? ,?s,则根据矩阵乘法的定义容易看出:  = 1 \* GB3 ① AB的每个列向量组为?i=A?i,i=1,2,?,s. 即A(?1,??2,? ,?s)= (A?1,A?2,? ,A?s).  = 2 \* GB3 ② ?=(b1,b2, ?,bn)T,则A?= b1?1+b2?2+ ?+bn?n. 应用这两个性质可以得到: 乘积矩阵AB的第i个列向量?i是A的列向量组为?1,??2,? ,?n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量?I的各分量. 类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量. 以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论. 用对角矩阵?从左侧乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵?从右侧乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量. 单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程 矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程. ( = 1 \* ROMAN I) AX=B. ( = 2 \* ROMAN II) XA=B. 其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解. 当B只有一列时,( = 1 \* ROMAN I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B=(?1,??2,? ,?s),则 X也有s列,记X=(?1,??2,?,?s).得到A?i=?i,i=1,2, ?,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得 ( = 1 \* ROMAN I)的解法: 将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X. ( = 2 \* ROMAN II)的解法:对两边转置化为( = 1 \* ROMAN I)的形式:ATXT=BT.再用解( = 1 \* ROMAN I)的方法求出XT,转置得X.. 矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解. (2) 可逆矩阵 定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵. 此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1. 矩阵可逆性的判别:  = 1 \* GB3 ① n阶矩阵A可逆?|A|?0.  = 2 \* GB3 ② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=E?BA=E.) 可逆矩阵有以下性质:  = 1 \* GB3 ① 如果A可逆,则 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当c?0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k. (规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.  = 2 \* GB3 ② 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.  = 3 \* GB3 ③ 如果A可逆,则A在乘法中有消去律: AB=0?B=0. BA=0?B=0. AB=AC?B=C. BA=CA?B=C.  = 4 \* GB3 ④ 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边): AB=C?B=A-1C. BA=C?B=CA-1. 由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法: ( = 1 \* ROMAN I) AX=B的解X=A-1B ; ( = 2 \* ROMAN II) XA=B的解X= BA-1. 这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算). (3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵 逆矩阵的计