例谈分式方程的“无解”和“有增根”(纳思教育研究院).docVIP

例谈分式方程的“无解”与“有增根” 分式方程是浙教版七年级下册7.4的内容，笔者在教学过程中发现很多同学容易混淆无解和有增根的概念，甚至于觉得两者等同.要弄清楚这两者的区别，首先要明白分式方程的解法.解分式方程我们首先是把它化成整式方程求解，然后按照整式方程来求解.而分式方程毕竟不同于整式方程，因为分式中有分母不能为零的特点，这也是导致分式方程产生增根的原因.即分式方程化成整式方程后所得的方程有解但使分式方程的分母为零，则为增根，需要舍去；而分式方程无解分为两种情况：①化成整式方程后无解；②化成整式方程后有解，但是这个解是增根.下面我们具体举例说明: 一、有增根不等同于无解 例1 已知关于的方程有增根，求的值. 分析：首先把分式方程化成整式方程，即根据等式的性质，将等式两边分别乘以，整理得关于的方程，因为分式方程有增根，则必然是因为分母等于零所产生的，所以，将代入解得；将代入可知不存在这样的.所以当时分式方程有增根. 变式：如果把“有增根”改成“无解”呢？ 分析：首先把分式方程化成整式方程，即根据等式的性质，将等式两边分别乘以，整理得关于的方程，因为分式方程无解，有可能是整式方程无解，也有可能是整式方程有解但是这个解是增根，需要舍去导致的无解，所以此处我们需要讨论. ①当时，可知方程无解，即时，原分式方程无解. ②当时，此时方程有解，解得，因为原方程中分母不能为0，所以当时，分式方程是产生增根的，即，解得，时不存在这样的. 综上所述，当或时分式方程无解. 说明：正确区分“有增根”和“无解”的区别是解决此类问题的关键。 分母为0的的取值是否一定是增根？ 例2 解方程 分析：首先对分式方程去分母可得.，解得. 将代入发现满足分母不等于零，故是为方程的根，而使分母为0的的值即不是整式方程的根，故也不会是增根. 说明：①分式方程的增根是会使方程的分母为0，但是分母为0不一定是分式方程的根. ②分式方程的增根首先要求是分式方程去分母后的整式方程的根，其次这个根会使分式的分母为零. 方程有增根是否一定无解？ 例3 解方程 分析：将原方程两边同都乘以，得． 化简得，将方程左边分解因式可得， 解得，． 因为原分式方程分母要求不能为零，所以这个解应是原方程的增根．即是分式方程的根. 说明：因为一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是对于化成整式方程后是一元二次方程的分式方程来说，有增根的分式方程不一定无解. 四、无解是否一定产生增根？ 例4 解方程 分析：去分母后化为． 整理得． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 说明：此方程化为整式方程后，整式方程本身就无解，自然原分式方程也无解．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 　 综上所述，运用转化思想将分式方程转变成整式方程，简化了我们的解题过程，但同时也为增根和无解留下了可乘之机.我们可从使得分母为0的的值中估测可能出现的增根.但是否存在，要看是否为去分母之后的整式方程的根方能确定。而注意有增根与无解的区别和联系，仔细审题方得圆满.