例析分式方程的解法和技巧.docVIP

第  PAGE 3 页 共  NUMPAGES 3 页 例析分式方程的解法与技巧 解分式方程的一般方法是通分去分母化为整式方程，而有些特殊的分式方程，如果千篇一律地采用通分去分母，则往往次数增高，复杂繁琐，甚至难以求解，若能根据分式方程的具体结构特点，灵活选用适当的解法和技巧，不仅能使问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题化繁为简，化难为易，迎刃而解，收到事半功倍的奇效，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高同学们的观察问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题、分析问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题和解决问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题的能力．现就几类常见技巧略举几例解析如下，供参考： 一、分组通分 解方程 解析：这道 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题若整个分式方程通分去分母，势必出现一个高次方程，给方程的求解带来困难，而方程两边分组通分则显得方法独特，别出心裁，可使问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题化繁为简，迎刃而解． 两边分别通分得： 当分子为零，即 时，解得 ；当分子不为零，而分母相等时，即 解得 ， 经检验：， 均是原方程的解 简析：当两个分式相等，分子相等但为含未知数的代数式时，要按①分子为零②分子不为零，分母相等来分别求解，否则会导致失根 二、分离整数 例2、解方程 解析：同样整体通分，次数增高，难以求解，而方程中各分式分母的数次等于分子的次数，可将各分式分离整数，再分组通分求解，会使问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题化难为易，迅捷获解，可谓匠心别具．方法巧妙． 方程中各分式分离整数，得 ： 即 ，移项，整理得： 两边分别通分．得，两个分式相等，分子相等且为常数，则分母必相等，从而得到： 去括号、移项、合并同类项，得，， 解得： 经检验， 是原方程的根． 三、 巧添常数 例3、解方程 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天． ，即： ∴ 或 ， 解得： 经检验， 都是原方程的根． 四、巧换元 例4、解方程 解析：解决此类问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题要有敏锐的观察力和丰富的想象力，由于方程的两个分式互为倒数，可用换元法，设为，则原方程变形为 再联想到方程 的解是 ， 可得 或 解得 令人茅塞顿开，拍案叫绝． 经检验，都是原方程的根． 五、巧取倒数 例5、解方程 解析：分式方程中分母的次数高于分子的次数，去分母次数增高，求解困难，若巧取倒数，则会化难为易，简捷明快． 将方程两边取倒数，得： 即 解得 经检验，是原方程的根． 六、拆项化简、相互抵消 例6、解方程 解析：这道 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题通分去分母，则会出现二次方程，目前不会解，但若将第二项拆项、裂项，则更显得方法巧妙，十分??捷． 原方程拆项变形为 裂项为 ， 即 ， 易得 经检验：是原方程的解 七、化积为差、裂项相消 解方程 … 解析：这道 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题如果想整个分式方程通分去分母，化为整式方程求解，令人望而生畏， 即使大费周折，也难以如愿，若根据分式方程的结构特点，依据公式“”化积为差，裂项相消，则会化难为易，迅捷获解，真可谓构思巧妙，方法独特．． 原方程裂项为：… 去括号整理得 即 解得，经检验：是原方程的解 从以上几例可以看出，有些分式方程通分去分母，难以求解，以致“山穷水尽疑无路”，而根据方程的结构特点，灵活选用适当的方法和技巧，就能使问 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题化难为易，化繁为简，迎刃而解，收到事半功倍的奇效，真可谓“柳暗花明又一村”． 下面几道练习 HYPERLINK / \o 欢迎登陆全品中考网 题，同学们不妨试一试： 解方程：① ② ③ ④ ⑤ 参考答案：①； ②； ③； ④； ⑤