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微分方程求解 实验目的与要求 掌握用Matlab求微分方程及其方程组解的方法； 学会求微分方程近似解的欧拉折线法； 学会建立一些简单问题的微分方程模型，并能运用Matlab分析研究这些问题。 问题描述 对于很多实际问题，要直接找出所需的函数关系往往非常困难，但根据实际问题所提供的条件，有时却可以列出含有未知函数导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。怎样利用微分方程求得所需未知函数，往往是我们解决实际问题经常需要面对的问题，即解微分方程。这里我们借用Matlab对此问题进行简单探讨。 问题分析 在处理关于微分方程的实际问题时，我们一般须先建立微分方程，再利用所学的数学知识解微分方程。事实上真正能找到精确解的微分方程只是很少一部分，大部分只能求近似解，即数值解。 背景知识介绍 求微分方程解析解的命令。 求微分方程解析解的命令为： dsolve（‘方程1’，‘方程2’，…，‘初始条件1’，‘初始条件2’，…，‘自变量’）， 对于可用积分方法求解的微分方程和微分方程组，可以用dsolve命令来求其通解和特解。 例1：要求方程的通解，可以输入以下语句Matlab命令： dsolve (‘D2y+3*Dy-4*y=0’,’x’) 运行结果： ans =C1*exp(-4*x)+C2*exp(x) 即 注：求一阶用D表示，二阶导数用D2表示，三阶导数用D3表示，以此类推。如果自变量没有选定，默认自变量为’t’。 例2：解方程 dsolve (D2y+4*Dy+5*y=0,x) 运行结果： ans =C1*exp(-2*x)*sin(x)+C2*exp(-2*x)*cos(x) 即： 例3：解方程 dsolve ((1+x^2)*Dy+2*x*y=x*exp(x^2),x) 运行结果：ans =(1/2*exp(x^2)+C1)/(1+x^2) 即： 如果要求微分方程的初值问题：，可输入以下语句 dsolve (D2y+4*Dy-2*y=0,y(0)=6,Dy(0)=10,x) 运行结果： ans = (3+11/6^(1/2))*exp((-2+6^(1/2))*x)+(-11/6^(1/2)+3)*exp(-(2+6^(1/2))*x) 即： 2．求微分方程数值解。 求微分方程数值解命令为ode45，ode23，ode15s。 对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题，可以用ode45，ode23，ode15s命令求特解。 例4：求微分方程的近似解（）可用下面的命令： function f=odefun1(x,y) f=y^2*x+y+x^2; [x,y]=ode45(‘odefun1’,[0,4],3); plot ( x , y , ‘ r - ’ ) 输出结果为： 例5：解初值问题 dsolve(Dy=-y+t+1,y(0)=1) 输出结果：ans =t+exp(-t) 即： 现在我们用数值求解命令求解后和解析解比较 function f=odefun2(t,y) f=-y+t+1; t=0:0.1:1; y=t+exp(-t); plot(t,y,b-) hold on [t,y]=ode45(odefun2,[0,1],1); plot(t,y,r.) hold off 输出结果： 例6：求初值问题 解：设，则原方程可化为 Matlab语言： function f=odefun3(x,y) f=[y(2);-y(1)-sin(2*x)]; [x,y]=ode45(odefun3,[pi,2*pi],[1,1]); plot(x,y(:,1),r-) 输出结果： 利用ode45命令还可以求解耦合微分方程，所谓耦合微分方程，方程组中的未知函数是相互影响的，相互依赖的，其中的一个求解会影响到另一个求解，下面求一对耦合微分方程的数值解： 例7：解方程组其中 Matlab语句： function f=odefun4(t,y) f=[y(2),-0.01*y(2)-sin(y(1))]; [t,y]=ode15s(odefun4,[0,100],[0,2.1]); 函数的图像： plot(t,y(:,1),r-) 输出结