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比例加载判定定理 静顶梁和超静定梁的破坏形式较易确定，而对其它超静定结构由于出现的破坏形式较多，采用前面的方法求极限荷载是困难的。下面介绍比例加载情况下有关极限荷载的几个定理，并作如下假定： 结构的变形与结构的原始尺寸相比小得多，建立平衡方程时，采用原始尺寸计算 结构由理想弹塑性材料组成，杆件横截面正、负极限弯矩的绝对值相等，塑性铰的转角与极限弯矩的方向一致，且忽略轴力、剪力对极限弯矩的影响。 比例加载时确定极限荷载的三个基本定理 定理一、极小定理（上限定理） 对于比例加载的给定结构，按照其各种可能的破坏形式，由平衡条件求得相应于每一种可能的破坏形式的荷载（记为P+ ）中的最小值，就是极限荷载。即，Pu≤P+ 换句话说，可破坏荷载的最小值就是极限荷载的上限值。 定理二、极大定理（下限定理） 对于比例加载的给定结构，在各种静力下，使结构具有安全的弯矩分布状态情况下所求得的相应荷载（称为可接受荷载，记为P-）中的最大值，就是极限荷载。即，Pu≥P- 换句话说，可接受荷载中的最大值就是极限荷载的下限值。 定理三、单值定理（唯一性定理） 对于比例加载的给定结构，若按平衡条件所求得的某一荷载既是可破坏的，又是可接受的，那么，这一荷载就是极限荷载。而且是唯一确定的。 换句话说，如果所求得的荷载同时满足：平衡条件、屈服条件及单线机构条件，则，它就是极限荷载。 定理的证明： 预备定理：可破坏荷载P+≥可接受荷载P – 证明：设结构在任一可破坏荷载P+作用下，成为某一单向机构，含有n个塑性铰。令此机构有一虚位移，则由虚位移原理： -----------------------------（1） 式中的，表示第i个塑性铰处的极限弯矩和相对转角。 根据单向机构条件，为正值，且P+与Δ均为正值。（1）式可写为： -----------------------------（2） 再设结构在任一可接受荷载P –作用下，其相应弯矩图为M - ，使这一平衡力系发生上述的机构虚位移，则由虚位移原理： -----------------------------（3） 式中，是图中第i个塑性铰处的弯矩。 根据屈服条件：≤ 得： ≤ ，由（2）、（3）两式有， ≤ ，由于Δ为正值，故，得 P+≥P – ---------------------（4） 定理一的证明： 由于极限荷载Pu是可接受荷载，由（4）式可得：Pu≤ ，即极小值定理。 定理二的证明： 由于极限荷载Pu是可破坏荷载，由（4）式可得：Pu≥ ，即极大值定理。 定理三的证明： 设存在两种极限内力状态，相应的极限荷载分别为Pu1与Pu2 。 由于每个极限荷载既可看作可破坏荷载，又可看作可接受荷载，所以， 若把Pu1看作可破坏荷载，把Pu2看作可接受荷载，则由（4）式得：Pu1≥Pu2 若把Pu2看作可破坏荷载，把Pu1看作可接受荷载，则由（4）式得：Pu2≥Pu1 故而，有：Pu1=Pu2 ，即证明了极限荷载的唯一性，即单值定理。 例1．求图示等截面梁的极限荷载，已知，梁截面的极限弯矩为Mu 。 P 1.2P A B C D E L/2 L/2 L/3 2L/3 解：取第一跨的破坏机构如图 P+ 1.2P+ A B Mu C E Mu 相应的弯矩图： Mu ME Mu 此机构相应的破坏荷载可按弯矩图求得： 由第一跨中点的弯矩 得： 同理，求得截面E的弯矩ME == Mu 上述计算表明，各截面弯矩值的绝对值都不超过极限弯矩Mu ，所以，既是破坏荷载，又是可接受荷载。根据单值定理，就是极限荷载。即，