第十讲 离散系统及其应用 - 北京大学力学与工程科学系.pptVIP

离散系统及其在生物与经济中的应用;应用背景：工业炉控制系统;采样控制原理图 ;差分方程与Z变换 ;状态空间形式与z变换 ;能控性与能观性 ;能观性 上面离散系统在n个采样周期内的量测值与初值x(0)的关系是： 与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为n。;高次差分方程与状态方程;连续系统离散化;连续系统离散化;连续系统离散化;离散系统的稳定性;s平面与z平面的映射关系;离散系统稳定的判据;例子;Lyapunov方法;离散系统的应用;菲波纳奇级数与兔口模型;再设第0年1岁兔为x2(0)＝1万只，2岁兔为x1(0)＝1万只。 用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列： xi(t)的每一项（t ?2）都是前两项之和。这个序列被称为菲 波纳奇序列。 下面用z变换求菲波纳奇级数的通项公式 :;菲波纳奇级数的通项公式;考虑兔口增长率问题：设第t年兔子总数为y (t)，显然有 又 ? 将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率?定义 为： 从通项可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数： 当t＝0时，兔子数y(t)＝4万只，那么30年以后兔子数为： y(30)=4×17441993.5万只。 ;商品市场价格变化的蛛网模型; 设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数为： 设1998年西瓜价格为p(0)=0.3元/公斤，1999年农民愿意种西瓜量为S(1)=－0.5＋8×0.3＝1.9亿公斤，在1999年上市西瓜1.9亿公斤，如果西瓜还卖0.3元/公斤，吃瓜的需求量为D(1)＝7－12×0.3＝2.2亿公斤 1.9亿公斤，这意味着西瓜供不应求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下式决定：D(1)＝S(1)，可得p(1)＝0.425元/公斤。在2000年如果还卖0.425元/公斤，大众的吃瓜量为1.9亿公斤 2.9亿公斤，西瓜将供过于求，要将2.9亿公斤瓜全卖出去，其价格为： D(2)＝S(2)，p(2)＝0.34166元/公斤，类似地一年一年分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。;蛛网模型;理论分析：求解价格的变化，令D (t)=S (t)，得 做z变换 求出反变换为： ;从上式看出当 即特征方程bz＋f ＝0的根的模小于1时，成立： 即系统是渐近稳定的。这时候价格趋于??应平衡价格：;封闭型蛛网;发散型蛛网; 蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型是一个很简单和有缺陷的模型。这是因为，根据该模型，造成产量和价格波动的主要原因是：生产者总是根据上一期的价格来决定下一期的产量，这样，上一期的价格同时也就是生产者对下一期的预期价格。而事实上，在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期价格（即上一期的价格）所决定的产量。这种实际价格和预期价格的不吻合，造成了产量和价格的波动。但是，这种解释是不全面的。因为生产者从自己的经验中会逐步修正自己的预期价格，使预期价格接近实际价格，从而使实际产量接近市场的实际需求量。 ;选课的数学模型; 选择1,2门课的学生在一学期的学习之后有100×p11％的学生认为选这两门课是合适的，有100×p21％的学生认为应当选1,3门课， 100×p31％的学生认为应当选2,3门课。设新一学年学生选课情况与上一学年学生听完课后选课想法一致。则新学年选第1,2门课的学生人数百分比为 类似地有 将以上三个方程写成矩阵形式，便可得到如下选课模型; 其中