代数结构(New)教程.pptVIP

离 散 数 学;第 三 部 分;第四章 代数结构之知识背景;课程定位;4.1 二元运算与运算律;运算的一般化与特异元素;代数系统及其表示;代数系统的运算表定义;代数系统的分类与子代数;积代数及与子代数;积代数及与子代数;二元运算的运算律;二元运算运算律示例;二元运算;代数系统中的零元和幺元;关于零元和幺元的定理;示 例;关于逆元的定义;具有结合律的代数逆元唯一定理;具有结合律的代数逆元唯一定理;4.1节的课堂练习题;+3 0 1 2 +6 0 2 4 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 2 0 2 2 4 0 2 2 0 1 4 4 0 2 ;4.2 代数系统的同态与同构;同态与同构;同态与同构示例;同态与同构示例;同态与同构示例;同态与同构示例;自同态、同构与同态像;4.3 几个典型的代数系统半群;半群;半群;独异点(含幺半群);独异点(含幺半群);独异点(含幺半群);独异点保持逆元运算定理;续;半群与独异点的同态;续;群;群;数系群外的几个常用的群;有限群与无限群;群的性质定理 ;群的性质定理证明;群中幂律;子群的定义;子群;子群的判定定理;子群判定定理的证明;子群判定定理的证明;Abel群;Abel群;循环群与交换群;循环群示例;4.3节课堂讲习题;4.3节课堂讲习题;4.3节课堂讲习题;如何证明两个群同态呢? 设G1,G2是群,f:G1→G2,若?a,b∈G1, 都有f(ab)=f(a)f(b)∈G2, 则称f是 G1到G2的同态映射. 设G为群,a∈G,?x∈G,令f:G→G,f(x)=axa-1,则f是G的自同构,称为G的内自同构. 设有理数加群G1=Q,+,无零有理数乘法群G2=Q*,·. 证明:不存在G2到G1的同构映射. 若存在G2到G1的同构映射f,则有f:G2→G1,f(1)=0. 于是f(-1)+f(-1)=f((-1)(-1))=f(1)=0. 即f(-1)=0.这与f的映像唯一性矛盾.;4.3节课堂讲习题;4.4 陪集与Lagrange定理;右陪集;几何解释;续;续;定理 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R为：?a,b∈G,aRb ?ab–1∈H,则R是G上的等价关系,且[a]R=Ha. 证明：只须证明二元关系R具有自反性、对称性和传递性. ?a∈G,由于子群H保持G的幺元,所以aa–1=e∈H，即a,a∈R，因而R具有自反性. 若a,b∈R, 则ab–1∈H,由于子群H关于求逆运算封闭,所以ba–1=(ab–1)–1∈H,即b,a∈R,故R具有对称性. 若a,b,b,c∈R,则ab–1,bc–1∈H,由于子群H关于G的运算封闭,于是(ab–1)(bc–1)=ac–1∈H,即a,c∈R,因而R具有传递性. ;续;推论：设H为群G子群. ?a ? G, Ha ??. ?a,b?G，Ha=Hb或Ha∩Hb=?. ?a ?G, 均有|Ha| = |H|. 证明: 若Ha∩Hb??,则有x?Ha∩Hb,即存在h1,h2?H,使x=h1*a=h2*b,从而b=h2-1*h1*a=h*a,h=h1*h2-1,即b?Ha.由此又得Hb=Ha. 因G的每一元a=a*e?Ha,故H的右陪集的集合组成G的一个划分. 令x,y?Ha.若h1*a=x=y=h2*a,则由左消去律得h1=h2,所以Ha中元素两两不等,得证|Ha|=|H|.;由上述定理和推论可以知道，给定群G的一个子群H. H的所有右陪集的集合{Ha|a?G}，恰好构成G的一个划分. 该划分的所有划分块都与H等势. 类似地，也可以定义H的左陪集：?a∈G,aH={ah|h∈H}. 并证明关于左陪集的下述性质： eH=H. ?a∈G,a∈aH. ?a,b?G，a?bH ? b-1?a?H ? aH = bH. 若在G上定义二元关系R，?a,b∈G,aRb ?b–1a∈H,则R是G上的等价关系,且[a]R=aH. ?a ?G, 均有|aH|=|H|.;左陪集示例;续;Lagrange定理;同余关系商代数;同余同态;同余同态; ;[0]= [3]={0,3}. [1]= [4]={1,4}. [2]= [5]={2,5}. 商集:N6/R ={ [0], [1], [2] } ={ {0,3},{1,4}