第2节欧式空间的基本概念.pptVIP

引言;第二节 欧式空间的基本概念;其中α,β和γ是V中任意向量,;① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理, ;例 1 在线性空间Rn中,对于向量α =(a1 ,a2 , ... ,an)T,;故(*)式满足内积公理. ;例1 ′ 设f(x)和g(x)是连续空间C[a,b]中任意两个函数，; 2. 柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式;综上所述，Cauchy- Schwarz 不等式成立.;对欧氏空间Rn来说,;二、向量的范数与夹角;对欧氏空间Rn来说,;2、 范数的基本性质;三角不等式的证明;3 、向量的夹角 ;由非零向量 a 得到单位向量 ;例2 求与a= (1,1,1), b=(1,-2,1)同时正交的单位向量.;4 、距离;定义 对于欧氏空间V中的一个向量组,;例3 已知在欧氏空间 R3 中,向量组;定理2 正交向量组必是线性无关向量组.;k1α1+…+kmαm =0,;定义 在 n 维欧氏空间 V 中,;定理3 设 α1,…, αn 是n维欧氏空间V的一个标准; 证明 ;(2) α,β=; 几何意义;解;四、Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法;由于ei , ej = ;由欧氏空间 V 的基获得 V 的标准正交基的方法;定理4 对于n维欧氏空间的任意一个基 α1,α2,…,αn ;下一步求 βm+1.; γm+1, βj=; 问题 已知 α1,…, αn 为 n 维欧氏空间 V 的一个基, ;此方法称为Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法;解;从而向量组α1 ,α2 ,α3的秩为3.;β1 =(1 , 2 , 2, -1)T, β2 =(2 , 3 , -3, 2)T, β3 =(2 , -1 , -1, -2)T;五、正交矩阵与正交变换 ;证明;定理5 实方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的;即A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量组为标准;思考题;3. Rn上的正交变换 ;例6 R2上的线性变换;所以此变换是正交变换.;即正交变换保持向量的内积不变;;证明;例 7 设 A 为三阶非零实方阵, 且 aij = Aij .其中Aij; |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3;向量的内积与欧氏空间