高中数学新人教A版必修5习题 12 应用举例2.docVIP

百度文库 百度文库 正、余弦定理在实际中的应用 A组　基础巩固 1．如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度是(　　) A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3))) m B．20(1＋eq \r(3)) m C．10(eq \r(6)＋eq \r(2)) m D．20(eq \r(6)＋eq \r(2)) m 解析： 如图，过点A作AE⊥CD交CD于点E. 由已知可得∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，AB＝20，AE＝CE＝20，DE＝20eq \r(3).∴CD＝20eq \r(3)＋20＝20(eq \r(3)＋1)． 答案：B 2．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　) A．10eq \r(3) n mile B.eq \f(10\r(6),3) n mile C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile 解析：在△ABC中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°. ∵eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA)，∴BC＝eq \f(AB·sinA,sinC)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6). 答案：D 3．如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量．已知AB＝20米，且测出∠CAD＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,4)，则灯塔CD的高度为(　　) A．20(3－eq \r(3))米 B．20(eq \r(6)－eq \r(2))米 C．10eq \r(2)米 D．20(eq \r(3)＋eq \r(2))米 解析：在Rt△ABC中，AC＝eq \f(AB,sin∠ACB)＝20eq \r(2)(米)． 在△ACD中，由正弦定理可知eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AC,sin∠ADC)， 从而CD＝eq \f(AC·sin∠CAD,sin∠ADC). 又∠ADC＝π－∠CAD－∠ACD＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)， sin∠ADC＝sineq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， 所以CD＝eq \f(20\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝20(3－eq \r(3))(米)． 答案：A 4．如图，为了测量某湖泊的两侧A，B的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是(　　) A．角A、B和边b B．角A、B和边a C．边a、b和角C D．边a、b和角A 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D. 答案：D 5．如右图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h，则两个场馆B，C间的距离为(　　) A.eq \f(hsinαsinβ,sin?α－β?) B.eq \f(hsin?β－α?,sinαsinβ) C.eq \f(hsinα,sinβsin?α－β?) D.eq \f(hsinβ,sinαsin?α－β?) 解析：在Rt△ADC中，AC＝eq \f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsin?β－α?,sinα)＝eq \f(hsin?β－α?,sinαsinβ). 答案：B 6．一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40eq \r(2)海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为(　　) A．北偏东80°，20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2))) B．北偏东65°，20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2))) C．北偏东65°，20eq \b\lc\(\rc\)(\a