第2章矩阵代数基础.pptVIP

第二章 矩阵代数基础;2.1 引言;2.2 矩阵定义; 通常用大写斜体字母代表矩阵，小写字母代表矩阵元素。如：A表示矩阵，aij表示矩阵A的第i行j列元素。 方正的行数（或列数）称为矩阵的阶。 矩阵有确定的运算规则。 注意矩阵与行列式的区别： 行列式：是一些元素的正方列阵，代表着这些元素确定的乘积的总和，有确定的数值。用列阵的两边加单根数线表示，如： ;二阶行列式展开 三阶行列式展开 n阶行列式展开 一个行列式等于任意给定的列（或行）的元素与它们相应的代数余子式乘积的总和。 ;例如行列式 某元素的余子式：将该元素所在行和所在列划掉后得到的低一阶的行列式。如元素a22的余子式为： 某元素的代数余子式：将该元素的余子式乘以(-1)i+j,;;例如将下列行列式按第一行展开 或者将下列行列式按第三列展开 ;一个方阵的行列式就是将该矩阵认作行列式即可，假如矩阵为A，我们就将其行列式记作det(A),即： 则;2.3 矩阵代数;（2） 加法与减法 只有相同维数的矩阵才可以相加或相减。在此情况下， A与B之和可用矩阵C 表示。 A + B =C 其中对所有i和j均有 Cij = Aij + Bij.例如 同理，A减B可用矩阵C表示 A - B =C 其中对所有i和j均有 Cij = Aij - Bij.例如 ; 由此推论，用数c乘以矩阵A得到矩阵B， B=cA 其矩阵元对所有i和j都由 Bij = cAij 给出.例如 ;（3） 乘法 A和B两矩阵，当且仅当A的列数，假定为n，等于B的行数时，才可以相乘（称为矩阵乘法），其乘积定义为矩阵C C = AB 其矩阵元对于所有i和j都按方程 得到。如果矩阵A有m行n列（mxn矩阵），而矩阵B有n行p列（nxp矩阵），则矩阵C 必为m行p列（mxp矩阵）。例如;例1 例2 例3 ;记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法依次乘以第二个矩阵的各列，第i行和第j 列相乘得乘积中的i、j元素。 两个以上矩阵的相乘，只要多次运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘 A(BC)= (AB)C ;对于三个矩阵的乘积，D=ABC 乘积的一般元素，对所有i和j都可通过 给出，式中 r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。 注意：相乘的矩阵其行数和列数的限制。 一般来说： AB≠ BA ;矩阵的应用 可以用简单的形式表示线性方程组。例如： 可以写成： AX=Y;此外，若与该方程相关联的还有方程组： 则 Z=BY 式中 因此 (BA)X=Z 表示意义：若矩阵B定义y变换成z，而矩阵A定义 x变换成y，那么，由x到z的变换就由矩阵BA确定。;（4 ）“除法”;确定逆矩阵的方法（Gramer法则）;记为 Y=AX，用A-1左乘两边，得到 X= A-1 Y 若令;（2.2）;A的行列式可写成（式中Mij为的Aij代数余子式） ;如果用M11乘方程2.1的第一式，用 M21乘方程2.1的第二式，…， 用Mn1乘方程2.1的第n式，然后相加，得 M11 y1+ M21 y2+…+ Mn1 yn = (A11 M11 + A21 M21 +…+ An1Mn1) x1 + (A12 M11 + A22 M21 +…+ An2Mn1) x2 +… + (A1n M11 + A2n M21 +…+ AnnMn1) xn =det(A) x1 ;+ ;按同样的方式，用其它的代数余子式能够得到;对于任一方阵A (A-1)ij= Mji/det(A);式中(A-1)ij是矩阵A的逆矩阵第i行与第j列的矩阵元素，而Aji的代数余子式Mji是从A中划去第j行与第i列所得到的低一阶矩阵的行列式乘以(-1)i+j. 说明(1)若det(A)=0（即当A是奇异矩阵时），方程(A-1)ij= Mji/det(A)及因之而得到的逆矩阵无法定义。 (2) 若Det(A)≠0，则A必须是方阵。 （3） 方程（2.3）给出任何一组有n个变量的n个方程的解。 ;（5） 结合律及分配律 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC;（ 符号称为Kronecker delta)。其它表示恒等矩阵的符号是I