泰勒展开式中余项的应用论文.docVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT III (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 天 津 师 范 大 学 本科毕业论文（设计） 题目：泰勒展开式中余项的应用 学 院：数学科学学院 专 业：数学与应用数学 泰勒展开式中余项的应用 摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒展开式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨论两个方面的内容:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒展开式的余项有一个总体认识,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广和应用. 关键词：泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数. 目 录  TOC \h \z \t 论文标题1,1,论文标题2,2,论文标题3,3 1 引言  PAGEREF _Toc352758010 \h 1 2 预备知识  PAGEREF _Toc352758011 \h 1 2.1 泰勒多项式  PAGEREF _Toc352758012 \h 1 2.2 泰勒展开式的余项  PAGEREF _Toc352758013 \h 2 2.2.1 佩亚诺型余项  PAGEREF _Toc352758014 \h 2 2.2.2 拉格朗日型余项  PAGEREF _Toc352758015 \h 2 2.2.3 积分型余项与柯西型余项  PAGEREF _Toc352758016 \h 3 2.3 泰勒级数  PAGEREF _Toc352758017 \h 3 3 泰勒展开式余项的应用  PAGEREF _Toc352758018 \h 4 3.1 佩亚诺型余项的应用  PAGEREF _Toc352758019 \h 4 3.1.1 极限运算的应用  PAGEREF _Toc352758020 \h 4 3.1.2 判断函数凹凸性及拐点  PAGEREF _Toc352758021 \h 6 3.1.3 判别广义积分收敛性  PAGEREF _Toc352758022 \h 7 3.1.4 判别级数敛散性  PAGEREF _Toc352758023 \h 9 3.2 拉格朗日型余项的应用  PAGEREF _Toc352758024 \h 10 3.2.1 一些等式或不等式的应用  PAGEREF _Toc352758025 \h 10 3.2.3 证明根的唯一存在性  PAGEREF _Toc352758026 \h 13 3.2.4 近似计算与误差估计  PAGEREF _Toc352758027 \h 14 4 参考文献：  PAGEREF _Toc352758028 \h 15  天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用  PAGE 17 1 引言 泰勒展开式是18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒展开式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒展开式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础. 事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,对泰勒展开式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒展开式的应用联系在一起,在没有理解泰勒展开式的前提下,写出常见函数的泰勒展开式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒展开式呢? 这并不是一件简单的事情，本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,希望能为初学者提供有益的帮助. 2 预备知识 2.1 泰勒多项式 我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有 . 即在点附近,用一次多项