第10讲归纳推理的文化及内涵.ppt

归纳推理的 文 化 及 内 涵;归纳推理;一、人们对归纳的认识;拉格朗日五次获法国科学院大奖。 他是最早意识到一般五次或更高次的代数方程不存在根式解的数学家之一。他的《关于方程的代数解的研究》，开辟了代数发展的新时期。他证明了威尔逊定理，证明了每个自然数可以表为最多四个平方数的和。证明了费尔马方程xn+yn=zn对于n=4无解，证明了佩尔(pell)方程解的存在性。 1793年法国资产阶级革命政府颁布一项法令：将工切在敌国境内出生的人驱逐出境并没收其财产，但特别申明尊贵的拉格朗日先生除外。1796年法国吞没了皮埃蒙特，塔莱朗奉明郑重其事地去拜访仍在都灵的拉格朗日父亲，说：“你的儿子，由于他的天才，给人类带来了荣誉，皮埃蒙特为产生了他感到骄傲，法国为他自豪。” 拉格朗日是一座高耸在数学世界的金字塔。（拿破仑）; 只由观察得到而未证明的知识应当跟真实的结论仔细分开。我们通常说，这种知识来自归纳法，但我们已经看到，只靠归纳法会导向错误的结论，所以我们就不要把那些通过观察或者只靠归纳法发现的数的性质当作真实的结论。实际上，我们应该利用这种发观的机会对己发现的性质作更周密的研究。要么证明它成立，要么推翻它，不管结果怎样，我们都可学到一点有益的东西。 ————— 欧拉 ; 一个真想把数学作为终身事业的学生必须学习论证推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作赖以进行的那种推理．要成为一个好的数学家，…,你必须首先是一个好的猜想家．没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现． ————牛顿; 观察所得的知识，通常用归纳所获得的．然而我们已经看到过单纯的归纳曾导致过错误．因此，我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真． 诚然，我们应该把这样一种发现当作一种机会，去更精确地研究所发现的性质，以便证明它或推翻它；在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西． ————欧拉 （美）G.波利亚著；数学与猜想 第1卷 数学中的归纳和类比李心灿等译；北京市：科学出版社，2001，P1;二、数学家对归纳法的运用 ;;; 正二十面体有20个全都是三角形的面，也就是F=20。20个三角形有3x 20=60条边，这里正二十面体的每一条棱都是两个三角形的边，所以棱数是且＝60／2＝30。类似地，可以求出V。正二十面体的每一个顶点周围有它的5个面。20个三角形有320＝60个角，其中5个角有一个公共的顶点，故顶点数V＝12。;多面体; 在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理． ——高斯 ;;;;孪生素数只有有限对？;;;整数三角形的研究运用了归纳法。;;整数三角形的研究是借用不等式、方程，最后运用归纳法得到结论。;;; 巴策内由归纳法得到的： 任何正整数，或是平方数，或是不超过四个平方数的和。需要多少个平方数才能展示出所有整数?;;;;;;;，; 对此，有两种不同的认识： 其一，直觉告诉我们a,b不等，前26位数相同真是一种不可思议的巧合； 其二，计算的直觉昭示a=b。 但如此不同的a,b相等难以置信。演绎推理与证明能告诉我们些什么？;对于任意正数x,y有 ;四、归纳法的分类;根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同,归纳推理可以分为 1. 完全归纳法 2. 不完全归纳法;1. 完全归纳法;设Mi是前提判断(i=1,2, …n)的各个判断范围,M是结论判断的范围. 若Mi(i=1,2, …n)具有性质p,则由此推出M具有性质p.即; 过去，一家长让小孩买火柴，并一再嘱咐：要买根根划得着的。结果，小孩买回后，很兴奋地告诉家长，这火柴特好，每根都能点得着。这真是让家长啼笑皆非。;2. 不完全归纳法;设Mi是前提判断(i=1,2,…,n)的各个判断范围,M是结论判断的范围. 若Mi(i=