测量误差理论和其应用.pptVIP

第二章 测量误差理论及其应用; 本章学习的目的要求: 掌握偶然误差的统计特性； 掌握衡量精度的指标； 掌握常用定权方法； 掌握误差传播律及协因数传播律。;2.1 偶然误差的统计特性;真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如： 1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。; 当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真值（ ），即： 真误差（?）= 观测值（ ）-数学期望（ ） 残差（改正数）： 改正数（V）= 观测值（ ）- 平差值（ ） ;三角形闭合差例子;表1-2-1偶然误差分布表;从表中看出： ;误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来表达。;当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成一条光滑??曲线：;可以证明，若△仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分布函数为： σ —标准差，在测量上称为中误差。当σ不同时，曲线位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。; ;以上分析可知： 1）观测误差呈现偶然性； 2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机分变量）; 当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知：;2.2 精度指标;2、观测精度： 是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。 ; 精度与准确度、精确度;准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。 表征观测结果系统误差大小的程度。 若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。;精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其真值的接近程度。 反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。 若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。 精确度衡量指标是均方误差：;可见：精度高，不一定准确度也高！;;1、方差;可见： 中误差不是代表个别误差大小，而是代表误差分布的离散度大小； 中误差越小，说明绝对值较小的误差越多！;;定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差，并以θ表示，即 ;3、或然误差;3、或然误差;例：设有一列等精度观测真误差，按绝对值递增顺序排列于下表。试计算其中误差、平均误差以及或然误差。 ;不难看出： ;4、极限误差;5、相对误差;例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，问两者的精度是否相同？ 解：根据相对中误差定义，得 前者的相对中误差为： 0.02／200 ＝1／10000 后者相对中误差则为： 0.02／40＝l／2000 故前者的量距精度高于后者。 ; ;1、协方差阵 设有n个观测量 ，描述其精度的方差阵DXX的定义为 ;;不难看出，协方差阵有以下的几个特点： 对称方阵； DXX 中的主对角线上的各元素σxi2 为 Xi 的方差；非主对角线中的元素 σxi xj为 Xi 关于 Xj 的协方差，是描述 Xi 与 Xj 之间相关性的量； 协方差估值计算公式： 方差阵 DXX 也称方差—协方差阵，简称为方差阵或协方差阵； DXX是描述观测向量的精度指标。它不仅给出了各观测值的方差，而且还给出了其中两两观测值之间的协方差即相关程度。; ;在实际工作中，往往有些值不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系计算的，即观测值函数。那么如何确定函数的精度呢;所谓协方差传播律： 描述由观测值的方差来推求观测值函数的方差关系的公式，称为“协方差传播律”。 ;从测量工作的现状可以看出: 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况： 1）线性函数（如观测高差与高程的关系）；如 2）非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。 ; 设有观测值 ,数学期望为 ,协方差阵为 ，又设有X线性函数为: 求Z的方差DZZ ;为求K的方差，我们需从方差的定义入手。 根据方差的定义,Y的方差为： 由数学期望运算可得： 将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得： ;方差的纯量形式为：;由上推导可得出以下结论： 若有函数: 纯量形式： 则函数的方差为: ;举三个例子; 例、设有观测值向量 的方差阵为： （1）试写出各观测值的方差以及两两协方差； （2）若有函数 ，则该函数F的方差又如何？ 解： ; 例：已知向量 ，且 若有函数： 试求各函数的方差