7.1_域的特征素域.pptVIP

第七章 多项式 有限域 ;§7.1 域的特征 素域;§7.1.1 域的特征;设N是σ的核，则N是I的理想。 从加法角度看N是I的子群，而I在加法下是循环群，由循环群的子群是循环群知，N是由某一元素生成的，设为p，则 N={np|n?I}=pI 可设p≥0，p称为F的特征。 由N是σ的核知，对?n?N，σ(n)=0F。特别地，p?pI=N，故σ(p)=pe=0F。 设n为乘法单位元e在加法下的周期。下面证明n=p，即p是乘法单位元e在加法下的周期。;1)当p=0时，N=pI={0}。故 σ(n)=ne=0F iff n?N iff n=0=p。 即，e在F的加法群里面的周期是∞。 2)当p0时， σ(n)=ne=0F iff n?N iff n=pk，k?I iff p|n 再由σ(p)=pe=0F，知 n|p。 因此，n=p。这就是说，e在F的加法群里面的周期是p。;域F的特征p或等于0或是一个质数。 证明：只需证若F的特征p≠0，则p一定为质数。 用反证法。设p不是质数，则 p=hk，1hp，1kp 因此，pe=(hk)e=(he)(ke)。而pe=0F。 因为域中无零因子，所以或he=0F或ke=0F ，但这和e的周期为p矛盾。 由域是消去环，而消去环中所有不为0的元素在加法下的周期相同，且或为0或为质数。;§7.1.2 素域 ;若F的特征p为质数， 往证F包含RP为其最小子域。 因p为质数，所以 I/pI=RP是一个域。 由I∕pI ? I’，知I是域，因此是F的子域。 任取F的子域F’，则F’必然包含e及其任意整数倍，即，必然包含 I，所以I是F的最小子域。 即，F包含和Rp同构的I为其最小子域。;现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。 特征是质数p时，mod p合同的整数代表F的同一个元素，Rp的元素写作0，1，…，p-1，则抽象地看，Rp与I一样 。这样，特征为p的域便包含Rp为其最小子域。;若F的特征p为0，往证F包含R0为其最小子域。 由p=0，知σ的核pI=0I={0}，所以 I/pI={?, {-1}, {0}, {1}, ?}， 显然I/pI ? I，而I / pI ? I’，故I’ ? I。 I’还不是一个域，故扩充σ: , (n≠0) 往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。;先证σ为有理域R0到F内的一个映射。 若h/k=m/n，则hn=km，因此， (hn)e=(km)e，即 (he)(ne)=(ke)(me)， 因k?0，n?0，F的特征p为0，所以 ke?0F，ne?0F， 故，he/ke=me/ne，这就是说，由σ所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。 ;再证σ为同态映射。 因此若令 ，则 R0 ? R0’;证σ是R0到其映象R0’的同构映射，故R0’是域，因此是F的子域。 证法一：R0是一个域而σ不是把它的所有元素映到0，所以，由教材233页习题6.7-1，R0 ?R0’。 证法二：再证明σ是1-1映射即可。因σ是R0到R0’上的映射，只需证若h/k ? m/n，则he/ke ? me/ne。 反证。设h/k ? m/n，而he/ke = me/ne。则(he)(ne)=(ke)(me)，故，(hn)e = (km)e，即 (hn)e - (km)e=0F，亦即(hn-km)e=0F ，由F的特征p为0，知hn-km=0F ，所以hn=km，h/k = m/n，与h/k ? m/n，矛盾。;F的任意子域要包含e，e的整数倍及其商，即包含R0’，所以，F包含和R0同构的R0’为其最小子域。 现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。 用有理数m/n代表me/ne。这样，抽象地看，R0’与R0一样。特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域。证毕。 RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。 例：实数域、复数域以R0为其最小子域。;0’;设n是任意整数，a∈F，若用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne，则na有两种意思： 1)可以看作是a的n倍， 2)可以看作是F中两个元素的乘积。 结果都等于(ne)a。 结论1： p是质数时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于p； p=0时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于∞。;结论2：设F的特征是质数p，则 (a+b)p=ap+bp 证明：由二项式定理， 系数 都是整数。除了两端的ap