2011届高考数学二轮复习课件8.6空间向量和其运算.pptVIP

§8.6 空间向量及其运算 要点梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 的量 叫做空间向量. (2)相等向量：方向 且模 的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直 线互相 于同一平面的向量. (4)共面向量： 的向量. 大小 方向 相同 相等 平行 平行或重合 基础知识 自主学习 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条 件是 . 推论 如图所示，点P在l上的充要条 件是： ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R, 在l上取 ,则①可化为 存在实数λ，使得a=λb （2）共面向量定理的向量表达式： p= ，其中x,y∈R,a,b为不共线向量，推论的 表达式为 或对空间任意一点O有, 其中x+y+z=1. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向 量p,存在有序实数组{x,y,z}，使得p= ，把{a,b,c}叫做空间的一个基底. xa+yb xa+yb+zc 3.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O, 作 =a， =b，则 叫做向量a与b的 夹角，记作 ,其范围是 , 若〈a,b〉= ,则称a与b ,记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,记作 ,即 . ∠AOB 〈a,b〉 0≤〈a,b〉≤π 互相垂直 |a||b|cos〈a,b〉 a·b a·b=|a||b| cos〈a,b〉 (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b= ； ②交换律：a·b= ; ③分配律：a·（b+c）= . 4.空间向量的坐标表示及应用 （1）数量积的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a·b= . （2）共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a∥b  , , , λ（a·b） b·a a·b+a·c a1b1+a2b2+a3b3 a=λb a1=λb1 a2=λb2 a3=λb3 (λ∈R) a⊥b  (a,b均为非零 向量）. （3）模、夹角和距离公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= ， cos〈a,b〉= . 若A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）， 则dAB= = . a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 基础自测 1.下列命题中是真命题的是( ) A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是 异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或 相反 C.若向量 ， 满足 且 与 同向，则 D.若两个非零向量 与 满足 + =0， 则 ∥ 解析 A错.因为空间任两向量平移之后可共面， 所以空间任意两向量均共面. B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等，与方向 无关. C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量 的长度进行比较,因此也就没有 这种写法. D对.∵ + =0,∴ =- ， ∴ 与 共线，故 ∥ 正确. 答案 D 2.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上， 且OM=2MA,点N为BC的中点，设 =a, =b, =c，则 等于( ) 解析 B 3.下列命题： ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有 ②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件； ③若a、b共线，则a与b所在直线平行； ④对空间任意