(学生用)第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式.docVIP

第2课时　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础梳理 1．同角三角函数基本关系式 平方关系：__________________；商数关系：tanα＝eq \f(sinα,cosα)(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)． 思考感悟 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”与“符号”的含义是什么？ 提示：“奇、偶”是指“k·eq \f(π,2)±α”(k∈Z)中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号． 课前热身 1．sin(－300°)等于(　　) A．－eq \f(1,2)　　 　　B.eq \f(1,2)　　　　 C．－eq \f(\r(3),2)　　　　D.eq \f(\r(3),2) 2．(教材习题改编)已知cos(α－π)＝－eq \f(5,13)，且α是第四象限角，则sinα＝(　　) A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C．±eq \f(12,13) D.eq \f(5,12) 3．cos(－eq \f(17π,4))－sin(－eq \f(17π,4))的值是(　　) A.eq \r(2) B．－eq \r(2) C．0 D.eq \f(\r(2),2) 4．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－eq \f(1,2)，则cosα＝________. 5．化简eq \f(cos?α－\f(π,2)?,sin?\f(3π,2)－α?)·sin(α－2π)·cos(π＋α)＝________. 考点突破 考点一 诱导公式的应用 诱导公式揭示了eq \f(π,2)±α，π±α，－α，2π－α与α的三角函数值之间的关系，应用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，是化归思想的具体体现． (1)化简：eq \f(tan?π－α?cos?2π－α?sin?－α＋\f(3π,2)?,cos?－α－π?sin?－π－α?)； (2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°. 【名师点评】　使用诱导公式时要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号． 　 考点二 同角三角函数基本关系的应用 运用基本关系可以求解两类问题： (1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值； (2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明． 该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1及其变形形式：sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要特别注意对符号的判断． 例2 已知tanα＝2，求： (1)eq \f(4sinα－2cosα,5sinα＋3cosα)的值； (2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值． 【思维总结】　由已知式可知tanα＝2，通过同角三角函数关系式求得sinα、cosα进而求解．但因角α所在角限不确定，要分类讨论，比较麻烦，故不可取 互动探究　例2条件不变，求sin(α－2π)sin(α－π)－sin(eq \f(5π,2)＋α)sin(eq \f(3π,2)－α)的值． 考点三 已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq \f(1,5). (1)求sinAcosA的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tanA的值． 【方法技巧】　sinα·cosα与sinα－cosα，sinα＋cosα存在内在联系，即：sinα·cosα＝eq \f(1,2)[(sinα＋cosα)2－1]，sinα·cosα＝eq \f(1,2)[1－(sinα－cosα)2]，可“知一求二”． 方法感悟 方法技巧 1．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍． 2．三角求值、化简是三角函数的基础，求值与化简的常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq \f(sinx,cosx)进行弦、切间的互化(如例2)； (2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·(1＋eq \f(1,tan2θ))＝taneq \f(π,4)